¿Cuál es el lugar de una ecuación de cuarto grado en dos variables?

Question

Locus es cualquier sistema de puntos, líneas o curvas que satisface una o más condiciones dadas ( https://en.wikipedia.org/wiki/Locus_(matemáticas)#Ejemplos_de_geometría_plana ).

Sabemos que el lugar de una ecuación de segundo grado en dos variables es una cónica (es decir, una elipse, una hipérbola o una parábola).

Mi pregunta es:

Cuál es el lugar de una ecuación de cuarto grado en dos variables de la forma:

$$ax^{2}y^{2}+bx^{2}y+cx^{2}+dxy^{2}+wxy+ux+vy^{2}+sy=0$$

donde $a,b,c,d,w,u,v,s$ son números reales.

Answer 1

No se trata de una curva cuaternaria general. Su ecuación tiene la forma $$Q_0(x)y^2+Q_1(x)y+Q_2(x)=0$$ donde el $Q_i$ son polinomios cuadráticos. Esto se puede "resolver" como un cuadrático en $y$ para dar $$y=-\frac{-Q_1(x)+\sqrt{R(x)}}{2Q_0(x)}$$ donde $R(x)$ es un polinomio de grado $\le4$ . Esto significa que la curva es bianualmente equivalente a la curva $y'^2=R(x)$ . En general, esto es un género $1$ curva, pero hay casos degenerados. En su curva original curva $(0,0)$ es un punto en ella, por lo que en general su curva es una elíptica elíptica (a menos que degenere de alguna manera).

La curva general del plano cuaternario tiene género $3$ , por lo que su curva es mucho más especial que eso.