No obtener la respuesta correcta para un problema de límite infinito

Question

El problema:

$\lim _{ x\to -\infty } \frac { \sqrt { 9x^{ 6 }-x } }{ x^{ 3 }+8 }$

Mi respuesta: $3$

Lo que hice:

$\\ \lim _{ x\to -\infty } \frac { \sqrt { x^{ 6 }(9-\frac { 1 }{ { x }^{ 5 } } ) } }{ x^{ 3 }(1+\frac { 8 }{ { x }^{ 3 } } ) } \\ \\ \lim _{ x\to -\infty } \frac { { x }^{ 3 }\sqrt { 9-\frac { 1 }{ { x }^{ 5 } } } }{ x^{ 3 }(1+\frac { 8 }{ { x }^{ 3 } } ) } \\ \lim _{ x\to -\infty } \frac { \sqrt { 9-\frac { 1 }{ { x }^{ 5 } } } }{ 1+\frac { 8 }{ { x }^{ 3 } } } \\ $

Y como

$\\ \lim _{x\to-\infty} \frac{1}{{x}^{5}}\quad =\quad 0\\ \\ \lim _{x\to -\infty} \frac{8}{{x}^{3}} \quad =\quad 0\\ \\ $

conectando $0$ para los valores anteriores...

$\\ \frac {\sqrt{9}}{1} \quad =\quad 3\\$

La respuesta correcta es aparentemente $-3$ No entiendo por qué.

Answer 1

Una de las razones por las que se puede sospechar que esa es la respuesta correcta es que se puede evaluar numéricamente la expresión para algún valor grande de $x$ digamos, $-1000$ y ver que el numerador le dará aproximadamente $\sqrt{9 \times (-1000)^6}$ que es un valor positivo. Por otro lado, el numerador después de hacer un poco de álgebra, $(-1000)^3 \sqrt{9}$ es un número negativo. Así que ese primer paso, donde se extrajo $\sqrt{x^6}$ como $x^3$ , fue un error. Puede comprobar que para $x = -1$ por ejemplo. Dejando $y$ denotan $x^3$ , estás tratando de reemplazar $\sqrt{y^2}$ con $y$ ...pero el reemplazo correcto es $|y| = |x^3|$ .

Answer 2

Sugerencia: utilice ese $\sqrt{x^6}=|x^3|$