La respuesta a esta pregunta varía en dificultad de un sistema a otro. Sin embargo, toda esta historia es rigurosamente conocida y probada en el ejemplo más simple no trivial: el modelo Ising clásico 2D (el argumento también funciona en el caso más simple del modelo Ising clásico 1D, pero entonces el fenómeno no describirá el efecto de frontera de ningún modelo cuántico de interés):
\begin{align*} Z&=\sum_{\{s_{ij}\}}e^{-\beta S}\\ &~~~~S= \sum_{i,j\,\in \,L}\,(J_x\,s_{ij}\,s_{ij+1}+J_y\,s_{ij}\,s_{i+1\,j})\\ \end{align*}
El entramado $L$ es semi-infinito (es decir, tiene un límite a la izquierda) y se visualiza a continuación:
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Podemos entonces imaginarnos tomando un observable local $\mathcal O$ (cuyo soporte se visualiza a continuación:) y formando la traslación $T_j(\mathcal O)$ del observable $j$ unidades en la masa:
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Si imaginamos tomar el valor de la expectativa de tal observable en el límite que $j$ tiende a infinito, recuperamos el valor de la expectativa de ese mismo observable, pero evaluado en el plano completo. Esta es la valor límite termodinámico del observable, y se conoce la tasa de aproximación: \begin{align*} \langle T_j(\mathcal O)\rangle-\langle T_\infty(\mathcal O)\rangle\sim\,\,\, O(e^{-j/\zeta})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\tag{1}\\ \end{align*} donde $\zeta$ es la longitud de correlación en el modelo de masa. Esta es la primera afirmación que querías demostrar:
(1) Como $N\to \infty$ cualquier observable que sólo mire al grueso no se ve afectado por las condiciones de contorno.
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Esquema de la demostración matemática de (1)
Daré un esbozo de la prueba de (1). Comenzamos reescribiendo la función de partición en términos de la matriz de transferencia, que actúa sobre el espacio de Hilbert de las configuraciones de una sola columna en la red: \begin{align*} Z&=\lim_{N\to\infty}\sum_{\{s_0\},\, \{s_N\}}\, \langle \{s_0\}|T^N|\{s_N\}\rangle,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,T:=e^{-\beta \sum_jJ_x\sigma^x_j\sigma^x_{j+1}}\cdot e^{-\beta \sum_jJ_y\sigma^z_j}\\ \end{align*} Aquí, $\{s_0\},\{s_N\}$ denotan las configuraciones de los espines en la columna del límite y en la columna del bulto, respectivamente. Si tenemos un observable local en el plano semi-infinito, entonces su valor puede expresarse en términos de la matriz de transferencia $T$ de la siguiente manera: ![enter image description here]()
En las ecuaciones: \begin{align*} \langle T_j(\mathcal O)\rangle&=\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{\{s_0,s_N\}}\langle\{s_0\}|T^j\,\widehat O T^{N-j} |s_N\rangle}{\sum_{\{s_0\}}\langle\{s_0\}|T^N|\{s_N\}\rangle}\\ \end{align*} Inmediatamente, visualmente podemos ver por qué el límite es irrelevante: en la fase de alta temperatura del modelo, $T$ tiene un hueco y un único vector propio máximo. Realizando el límite termodinámico medio-infinito se sustituye $T$ con proyección sobre su vector propio máximo, que denotamos por $|GS\rangle$ : \begin{align*} T^j=|GS\rangle\langle GS|+O(e^{-j/\zeta}) \end{align*} donde $1/\zeta$ sea la diferencia entre el mayor y el segundo mayor valor propio de $T$ . Por lo tanto, sustituyendo esto en el observable \begin{align*} \langle T_j(\mathcal O)\rangle&=\frac{\sum_{\{s_0,s_N\}}\langle\{s_0\}|GS\rangle \langle GS|\,\widehat O|GS\rangle\langle GS |s_N\rangle}{\sum_{\{s_0\}}\langle\{s_0\}|GS\rangle \langle GS|\{s_N\}\rangle} + O(e^{-j/\zeta})=\langle GS|\widehat{\mathcal O}|GS\rangle+O(e^{-j/\zeta}) \end{align*} $$$$ Let's compare this with the result we would have obtained in the bulk: \begin{align*} \langle \mathcal O\rangle_\text{bulk}&:=\lim_{j\to \infty}\langle T_j( \mathcal O)\rangle = \langle GS|\widehat{\mathcal O}|GS\rangle. \end{align*} By subtracting this from the finite-$ j $ result, this finishes the proof of (1) in the simple case $ T>T_c$, mostrando que el rango característico de los efectos de frontera en los observables locales es igual a la longitud de correlación del bulto.
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Del mismo modo, utilizando este argumento de convergencia de la matriz de transferencia, se puede establecer:
(2) Como $N\to \infty$ el solapamiento del estado básico del sistema periódico y el estado básico del sistema abierto llega a 1.
(3) Como $N\to \infty$ La matriz de densidad reducida en la masa no depende de las condiciones de contorno.
De nuevo, como en la prueba de (1), sustituimos $T^j \sim |GS\rangle \langle GS|$ para $j$ suficientemente grande. De nuevo, el ingrediente clave aquí es la convergencia de las potencias de la matriz de transferencia $T^j$ que pierde cualquier "memoria" de efectos/ordenación de tamaño finito como $j\to \infty$ .
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Extensión a un sistema cuántico a temperatura cero
Después de haber esbozado una prueba rápida de la intuición "los efectos de frontera no importan" en un entorno clásico, en realidad es trivial generalizar esto para cuantificar el efecto de frontera en un estado básico cuántico. En realidad, no necesitamos rehacer la prueba; en su lugar, la trasladamos al entorno cuántico utilizando la correspondencia cuántica-clásica que establece, a grandes rasgos, que
$$ \{\text{$ d+1 $-dim'l Classical system at $ T>0 $}\}\leftrightarrow \{\text{$ d $-dim'l Quantum system at $ T=0 $}\}$$
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Por lo tanto, para demostrar (1-3) para un estado básico cuántico, basta con utilizar el mapeo cuántico-clásico. Por ejemplo, para el caso del modelo de Ising de campo transversal 1+1D (TFIM), aplicamos la transformación de Suzuki-Trotter con paso de tiempo $\Delta \tau>0$ a la función de partición cuántica $$Z=\lim_{\beta\to \infty}\text{tr}(e^{-\beta H_{TFIM}}),$$ que produce una familia de acciones eficaces $\{S[\Delta\tau]\}_{\Delta\tau}$ que describe las correlaciones estadísticas de un campo de Ising discreto en una red cilíndrica de espaciotiempo. La familia de acciones efectivas es: $$$$ \begin{align*} S[\Delta\tau]\underset{\,\,\Delta\tau\to \,0\,\,}{\sim} \sum_{j\tau}(J[\Delta\tau]\,s_{j\tau}s_{j+1\tau}+J_\perp[\Delta\tau]\, s_{j\tau}s_{j\tau+\delta\tau})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,.\\ \end{align*} Por supuesto, el efecto límite en el modelo cuántico es entonces precisamente el efecto límite en el modelo clásico 2D, que acotamos en los argumentos anteriores (usando la matriz de transferencia).
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Más allá de este ejemplo ilustrativo
Espero que a estas alturas esto esté claro: utilizando la poderosa combinación de la correspondencia cuántico-clásica con el método de la matriz de transferencia (todos ellos métodos estándar en la caja de herramientas de la materia condensada), se pueden cuantificar los efectos de frontera en una amplia clase de estados básicos cuánticos, mucho más allá del ejemplo aquí con el TFIM 1+1D. En cualquier caso, espero que esta respuesta explique por qué los físicos tienen la intuición que tienen, y también demuestre que una prueba matemática del efecto de frontera, al menos en un entorno bastante general de sistemas de espín con hueco "trotterizable" con interacciones de vecino más cercano, está bien establecida (o al menos debe ser) en la literatura.
