¿Qué distingue a la Teoría de la Medida y a la Teoría de la Probabilidad?

Question

Está claro que la Teoría de la Probabilidad trabaja principalmente con medidas limitadas en espacios medibles.

Por otro lado hay un folklore que dice que lo que distingue a la Teoría de la Medida y a la Teoría de la Probabilidad es la probabilidad condicional y la expectativa condicional.

Pero las probabilidades condicionales y las expectativas condicionales se derivan de $\,$ Teorema de Radon-Nikodym y una medida con respecto a otra medida. Y el teorema de Radon-Nikodym es un resultado típico de la teoría de las medidas.

Pregunta 1: Entonces, ¿podríamos ver la Teoría de la Probabilidad como una subdisciplina de la Teoría de la Medida?

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Pregunta 2: ¿Sería posible dar otra base a la Teoría de la Probabilidad que no sea la Teoría de la Medida?

Answer 1

Yo diría que el condicionamiento y la independencia es algo distinto, la expectativa se utiliza mucho en la teoría de la medida también, con el nombre de la integral de Lebesgue.

La cuestión es que la probabilidad como ciencia antes estaba quizás más cerca de la física que de las matemáticas al estar basada en experimentos. Se convirtió en la Probabilidad clásica Teoría (PT) cuando era axiomatizado la primera mitad del siglo XX por medio de la Teoría de la Medida (MT). Así que la MT es claramente una base matemática para la PT clásica y en ese sentido se puede considerar que la PT es una subdisciplina de la MT.

Sin embargo, hay dos momentos que hay que mencionar.

1. Hay un enfoque algebraico de la probabilidad que parte de álgebras de variables aleatorias y define un funcional lineal sobre dichas álgebras, que es una expectativa. ¿Debemos decir que la Teoría de la Probabilidad es una subdisciplina del Álgebra Abstracta?

2. En ambos casos, se parte de algo empírico: probabilidad, variables aleatorias, etc. Se desea que satisfagan algún tipo de propiedades y para ello se aporta una estructura particular: bien una medida-teórica, bien una algebraica. Sin embargo, hay un significado adicional de los resultados que se obtienen. Por ejemplo, el Ley de los grandes números y Teorema del límite central se obtienen utilizando métodos puramente teóricos de la medida. Pero estos resultados son muy importantes precisamente para la Teoría de la Probabilidad. La interpretación de la MT a través de ideas probabilísticas le proporciona una intuición adicional sobre "cómo debe ser" y ayuda a entender "qué significa".

Esta es una opinión que he elegido para mí. Espero que sirva de ayuda.

Answer 2

Palabras de Salomon Bochner en la introducción de su artículo titulado "Stochastic Processes", publicado en 1947 en el volumen 48 de los Annals of Matematics: