Dibujo de formas regulares aproximadas en una rejilla cuadrada

Question

Me encuentro a menudo tonteando con bolígrafo y papel, preferiblemente cuadriculado. Así que empecé a buscar formas de dibujar figuras geométricas con la mayor precisión posible sin usar compás y/o regla. En particular, estoy pensando en polígonos regulares y círculos. Adjunto una imagen de mis mejores hallazgos, dejada intencionadamente a mano para mostrar el tipo de resultado que persigo (a raíz de una respuesta introduje un par de ajustes digitales). Las explicaciones siguen a continuación.

Empezaré con los polígonos regulares. La regla es sencilla: los vértices deben estar en los cruces de la cuadrícula, es decir, sus coordenadas deben ser expresables como números enteros. Aparte del cuadrado, no es posible obtener polígonos regulares con esta restricción, por lo que se trata de obtener las mayores aproximaciones manteniendo las cifras "pequeñas". He explorado diferentes formas de evaluar cuantitativamente la "precisión" de una aproximación, empezando por la uniformidad de longitud de los lados (satisfactoria sólo para los triángulos) combinada después con la uniformidad de los ángulos, hasta la distancia media al cuadrado de los vértices respecto a los ideales que no están en la cuadrícula. No puse ningún requisito sobre el centro; si cae en un cruce o cerca de él, mejor. Además, he probado diferentes factores de tamaño para tener en cuenta el hecho de que obtener mejores aproximaciones de la forma con figuras más grandes es algo obvio y también menos útil para hacer bocetos. De todos modos, he encontrado un acuerdo sustancial entre las diferentes estrategias. De hecho, no encontré enfrentamientos cara a cara cuyo "ganador" dependiera de los detalles de puntuación, e incluso si lo hubiera hecho habría declarado felizmente un empate y mantenido todas las alternativas. Así pues, la hoja de papel de la esquina superior izquierda de la figura recoge mis mejores resultados de esta familia.

A continuación voy a relajar la restricción: Dejaré que los vértices caigan también en los puntos medios de los lados de los cuadrados de papel. Estos se pueden localizar con una precisión satisfactoria a ojo, en cambio no voy a permitir los puntos centrales de los cuadrados de papel. Esta nueva regla equivale a reducir a la mitad todas las coordenadas de una solución anterior válida, siempre que ningún punto tuviera ambas coordenadas impar (se puede trasladar horizontal y/o verticalmente la figura original por $1$ antes de intentar la división). También debo añadir que no me gusta que una línea paralela a la cuadrícula corte los cuadrados por la mitad, pero es sólo cuestión de gustos. Obviamente, en dimensiones comparables, se pueden encontrar mejores aproximaciones con esta libertad adicional, y mis mejores hallazgos están representados en la esquina superior derecha.

Procederé a los círculos. Son diferentes, ya que no tienen un número limitado de vértices y se pueden buscar puntos de apoyo -que ahora pueden pertenecer al círculo y estar exactamente en las intersecciones de la cuadrícula al mismo tiempo- sin a priori restricciones de posición e importe. Así que el objetivo se convierte en encontrar el mayor número de ellos, y lo más uniformemente distribuidos, como sea posible. Una vez más, intento mantener los círculos pequeños, con consideraciones similares a las anteriores sobre la pérdida de interés a medida que aumenta el tamaño. Teniendo esto en cuenta, mis mejores círculos están representados en la esquina inferior izquierda.

Por último, vuelvo a suavizar las reglas: los puntos de apoyo en la cuadrícula pueden ser aproximaciones de los puntos exactos del círculo y/o pueden situarse en los puntos medios de los lados del cuadrado. Mis mejores hallazgos de este tipo son los de la esquina inferior derecha.

No he podido encontrar ninguna disertación seria sobre este argumento (ciertamente trivial), el argumento más relacionado es este: Puntos de la red circular . ¿Alguien conoce otros? ¿O alguien está dispuesto a encontrar otras figuras similares (o mejores, bajo cualquier aspecto)?

EDITAR: No quiero parecer desagradecido con los que se ocuparon de mi pregunta, pero todavía no he recibido la respuesta que esperaba. El caso es que estoy buscando la manera de descubrir si se me han "escapado" algunas cifras interesantes en el contexto descrito. He aprovechado mis (limitados) conocimientos de programación para realizar algunas búsquedas automatizadas, pero no estoy seguro de que mis algoritmos garanticen no pasar por alto ninguna buena solución. También puedo describirlas y discutirlas, pero prefiero dejar a cada uno la libertad de utilizar su enfoque original. Otra posibilidad sería encontrar alguna referencia que cubra el tema, pero me temo que esto es realmente demasiado "recreativo" para ser tratado en la literatura. ¿Tal vez algo en Internet? ¿Alguien que haya hecho algo similar antes que yo? ¡Empiezo una recompensa para averiguarlo! ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Históricamente, un problema similar se le planteó a la gente que intentaba utilizar las relaciones de transmisión para aproximar la proporcionalidad irracional, ya que siempre hay un número natural de dientes en cualquier engranaje concreto. En pocas palabras: los convergentes de las fracciones continuas son la "mejor" aproximación al verdadero valor de un número irracional en el sentido de que no hay ningún otro número racional que se acerque más al verdadero valor con un denominador más pequeño. (En realidad, las garantías sobre la aproximación son más fuertes que esto, lo que se puede ver en entrada de wikipedia sobre fracciones continuas .)

Los convergentes de las fracciones continuas de varios irracionales te dirán qué tipo de escalamiento necesitarías para lograr tus aproximaciones. En la práctica, esto significaría que tienes algo así como una expresión exacta para la colocación de los puntos, que luego conviertes en una aproximación racional con un error menor que lo que consideras la desviación más fina aceptable (tal vez el grosor de tu línea, tal vez 1/20 del espacio de una cuadrícula).

Consideremos el problema de tener un punto en $\sqrt{2}$ en algún eje. La raíz cuadrada de 2 es aproximadamente 1. Bueno, no es 1. Más bien $1 + \frac{1}{2}$ . Bueno, no exactamente 2, más bien $2 + \frac{1}{2}$ . En realidad, la fracción continua de

$$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \cdots}} = [1~ 2~ 2~ 2~ 2~ 2~ \ldots ] = [1~ \overline{2}]$$

Y sus convergentes son $1,~ \frac{3}{2},~ \frac{7}{5},~ \frac{17}{12},~ \frac{41}{29},~ \ldots$ que son respectivamente menor que, mayor que, menor que... el valor verdadero. Si reescalamos mentalmente nuestra hoja de manera que 12 unidades sean iguales a "1", entonces 17 unidades son aproximadamente $\sqrt{2}$ .

Answer 2

Esto no es realmente una respuesta, antes eran tres largos comentarios, ahora puestos juntos para que sean más fáciles de leer.

Si miras tu hexágono (cerca del pentágono) podrías considerar que cada lado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Si cada cuadrado (del papel cuadriculado) tiene longitud de lado $1$ entonces ese hexágono tiene cuatro lados de longitud $\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$ y dos lados de longitud $\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}$ . Tu otro hexágono no tiene del todo vértices en la cuadrícula, tiene un par de vértices en los puntos medios de los "segmentos unitarios de la cuadrícula", por lo que hay que duplicar todos los lados para que quepa en la cuadrícula. Si se hace eso, entonces tiene dos lados horizontales de longitud $8=\sqrt{64}$ y cuatro lados de longitud $\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}$ .

Por lo tanto, un paso (por supuesto incompleto) sería buscar (pequeño, entero) $a,b,p,q$ con $a^2+b^2\approx p^2+q^2$ por ejemplo $a^2+b^2=p^2+q^2\pm1$ , donde $a,b,p>0$ y $q0$ . Esto podría hacerse con un ordenador. Entonces, sería un siguiente paso (que no intenté resolver) una vez que encuentre tal $a,b,p,q$ trata de encontrar un triángulo rectángulo con lados $a,b$ y otro triángulo rectángulo con lados $p,q$ , y trata de juntarlas para utilizar las hipotenusas como lados de tu polígono. En general, busca $a_1^2+b_1^2\approx a_2^2+b_2^2\approx...\approx a_n^2+b_n^2$ para un adecuado $n$ (por ejemplo su septagón tiene $n=4$ ).

Tu septagono tiene un punto que es el punto medio de un "segmento de unidad de rejilla", así que multiplicando todos los lados por $2$ Obtengo las longitudes (de abajo a arriba, los cuadrados de las longitudes de las hipotenusas, en lugar de las propias longitudes):
$10^2+0^2=100=6^2+8^2\approx104=10^2+2^2\approx97=4^2+9^2$ .
Esto parece estar relacionado con el enlace que proporcionas en el enunciado de tu pregunta, así como con el enlace del comentario de @dantopa (sobre ecuaciones diofantinas), así como con (no exactamente) los triples pitagóricos (pero no buscamos $a^2+b^2=c^2$ Sólo para
$a^2+b^2=$ entero $\approx$ otro entero $=p^2+q^2$ ).

Answer 3

Al principio: la idea es bonita para el diseño. Mi primer intento es duro y primitivo, pero la idea puede conseguir una implementación más exitosa.

Y el segundo intento puede ser más interesante, porque este, como si, es el único polígono no convexo con ejes de simetría pronunciados, todos los vértices "convexos" de los cuales se encuentran en un círculo. Y que puede ser pavimentado con un plano.

Además, en una disposición vertical, es muy similar a la recompensa por lo positivo, que está presente en el tema.

Answer 4

Para un hexágono, utilizando la fracción continua para $\sqrt{3}$ , [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1... podría funcionar muy bien. No he descubierto una prueba, pero creo que para un pentágono, la mayor precisión posible se acerca a un pentágono perfecto a un ritmo mucho más lento con respecto al límite de tamaño. Creo que una mejor manera de averiguar cómo dibujar un pentágono más exacto es dejar de lado el criterio de que los vértices estén en intersecciones exactas en el papel cuadriculado y en su lugar hacer las cuentas y calcular para algún pentágono exacto qué intersecciones exactas están en qué lado de cada una de sus aristas y luego dibujar líneas que estén en el mismo lado de cada uno de esos puntos como las aristas del pentágono exacto. El punto final de una arista no va a estar necesariamente muy cerca de una intersección en la cuadrícula, pero alguna parte de la arista puede estar mucho más cerca de una. No te molestes en usar tus ojos para verificar la exactitud de las formas que dibujaste. No te enseñará a dibujar con más precisión porque, como se describe en mi respuesta a "Pruebas" visualmente engañosas que son matemáticamente erróneas Los ojos son propensos a las ilusiones ópticas incluso de imágenes matemáticamente imposibles. Las matemáticas le dirán con mayor fiabilidad si existe un pentágono que contenga todo un determinado conjunto de puntos de intersección en la cuadrícula y sólo esos puntos de intersección. Hay una forma de definir matemáticamente un determinado pentágono y averiguar matemáticamente para cada punto de intersección en la cuadrícula en qué lado de cada arista del pentágono extendido hasta el infinito se encuentra.