¿Cómo hay que abordar las matemáticas tropicales?

Question

Permítanme que comience diciendo que mi formación es bastante escasa (es decir, una sólida licenciatura). Sin embargo, hace unos meses me encontré con Litvinov - La decuantificación de Maslov, la idempotencia y la matemática tropical: Una breve introducción que presentó una idea que me pareció realmente notable. Se puede desarrollar una teoría de análisis de funciones que toman valores en un semirremolque idempotente (por ejemplo, el álgebra max+), que resulta ser naturalmente adecuado para algunos problemas tradicionalmente no lineales. Bajo esta formulación (especializada para el caso de max+), la integral de una buena función corresponde al sumo, la transformada de Fourier corresponde aproximadamente a la transformada de Legendre (!), y parece que se puede desarrollar una teoría de EDP "lineal" (por ejemplo, en términos de las operaciones de max+) análoga a la teoría lineal tradicional (!!). Por ejemplo, la ecuación de HJB es una EDP de primer orden no lineal, pero lineal en el sentido max+ de la palabra. Todo esto me dejó boquiabierto, pero después de intentar leer unos cuantos artículos más sobre el tema, decidí dejarlo aparcado para pensarlo más adelante.

Entonces, hace unos días estaba leyendo algo escrito por Gian-Carlo Rota en el que hace un comentario sobre el desarrollo de un "álgebra" para los conjuntos múltiples. Supongo que los entramados distributivos modelan bastante bien el "álgebra" de los conjuntos (de hecho existe el teorema de Birkhoff), pero el aspecto cuantitativo de los conjuntos múltiples hace que esto parezca inapropiado. Así que, jugando un poco, me doy cuenta de que si uno modela los conjuntos múltiples sobre los elementos de X mediante funciones de X a los enteros no negativos (la multiplicidad), entonces la unión de conjuntos múltiples corresponde a la adición puntual y la intersección de conjuntos múltiples corresponde a la minuta puntual. ¡El álgebra min+ sobre los enteros no negativos! Tal vez esto apunte en la dirección de por qué pienso en las matemáticas tropicales como algo de interés para la gente de la combinatoria algebraica (tal vez esta generalización sea errónea).

Vale, perdón por el rollo. Esencialmente, tengo dos preguntas. En primer lugar, aparte de las referencias a la "descuantización", ¿cómo debo concebir el papel de las matemáticas tropicales? Mi falta de experiencia me hace difícil hacerme una idea de lo que está pasando aquí (especialmente en el lado de la geometría de las cosas), pero parece que hay algunas grandes ideas al acecho.

En segundo lugar, si quisiera aprender más sobre este tema, ¿cuál sería el mejor camino a seguir? ¿Qué documentos expositivos debería mirar/guardar para más adelante? Es un poco intimidante que parezca que uno necesita conocimientos de geometría algebraica antes de poder acercarse seriamente a estas ideas, pero tal vez sea así.

Answer 1

Sturmfels/Speyer puede ser un buen comienzo. Si no, yo buscaría en Arxiv especialmente las cosas que ha escrito el Dr. Bernd Sturmfels. Además, si se examina su sitio web (basta con buscar Bernd Sturmfels + UC Berkeley), probablemente se obtendrá algo interesante.

Answer 2

Para una visión general de la geometría tropical quizás: A. Gathmann, Tropical algebraic geometry, Jahresbericht der DMV 108

Está disponible aquí .

Answer 3

Hay una breve introducción de Mikhalkin: Introducción a la geometría tropical (apuntes de las conferencias del IMPA en el verano de 2007) se amplía con más detalle en este libro: http://www.math.toronto.edu/mikha/book.pdf (el enlace ya está obsoleto; es posible que se trate del mismo libro: Mikhalkin y Rau - Geometría tropical .)

El Notas de la conferencia de Oberwolfach de Itenberg, Mikhalkin y Shustin también son agradables.

Answer 4

Si te preocupa no entender los aspectos geométricos, quizá merezca la pena consultar los documentos originales de Simon; parece que la mayoría de los tropicales están en inglés. Simon era, por supuesto, principalmente un informático y combinador, así que, aunque no he leído esos artículos, sospecho que el tema de la geometría algebraica más dura no estará ahí.

Answer 5

Desde una perspectiva completamente diferente, está el artículo de Jean-Eric Pin Seminarios tropicales y luego la breve introducción de Stéphane Gaubert Métodos y aplicaciones de $(\operatorname{max},+)$ Álgebra lineal, Informe 3088, enero de 1997, INRIA y un conjunto más extenso de notas de clase del mismo autor, Introducción a los sistemas dinámicos de eventos discretos (están en francés pero son excelentes apuntes de clase). El punto de vista de Gaubert es describir sistemas de eventos discretos que son muy divertidas y muy accesibles. Más adelante, cuando se hable de las aplicaciones en ese ámbito, se podrán ver algunos de los puntos que has planteado en la pregunta original, pero con mucho más énfasis en la aplicabilidad. Véase también Jean-Pierre Quadrat, Álgebra Max-Plus y aplicaciones a la teoría de sistemas y al control óptimo , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Zúrich 1994, Birkhauser, 1995.

Aprendí mucho de una charla de Jeremy Gunawardena hace muchos años, y para más información puedes consultar su Semianillos idempotentes y su sitio web (que es fácil de encontrar).

Otro sitio web útil es http://www.maxplus.org/ vinculando a varios grupos que trabajan en el álgebra (max,+).

Obsérvese que nada de esto necesita realmente la vertiente algebraica-geométrica como tal, al menos para empezar, y está mucho más ligado a la "teoría de sistemas", y a aplicaciones como la combinatoria, la programación y los problemas de programación dinámica en Investigación Operativa. Además, es muy divertido, tanto para aprender como para enseñar.