Ecuación diferencial que describe la difusión a una esfera parcialmente cubierta

Question

Estoy tratando de trabajar en un artículo de Zwanzig (1990, Diffusion controlled ligand binding to spheres partially covered by receptors: Un tratamiento del medio eficaz). Hay una sección que no puedo seguir las matemáticas, aquí está:

La ecuación de difusión en estado estacionario:

$$D~ \bigtriangledown ^{2}C = 0$$

[Dónde $~D~$ es el coeficiente de difusión y $~C~$ es la concentración].

"Esto debe resolverse con las condiciones de contorno adecuadas en la superficie de la esfera. Para un observador alejado de la esfera, la superficie parece ser uniforme pero no perfectamente reflectante ni perfectamente absorbente. Esto sugiere el uso de una "condición de contorno de radiación".

$$D~\frac{\partial C}{\partial r} = k~C$$

en

$$r = R$$

Si $~k = 0~$ la superficie es perfectamente reflectante, y si $~k~$ va a $~\infty~$ La superficie es perfectamente absorbente. Entonces la solución adecuada de la ecuación de difusión es

$$C = 1 - \frac{\alpha}{r}$$

y la condición de contorno en R determina el coeficiente

$$\alpha = \frac{k}{\frac{k}{R} + \frac{D}{R^{2}}}$$

Estoy atascado en cómo conseguir esa solución, ¡se agradece cualquier ayuda!

Answer 1

Permítame entender su(s) pregunta(s).

Si se parte del paso

$\displaystyle C = 1 - \frac{\alpha}{r}$

y observe que

$\displaystyle \left[ C \right]_{r=R} = 1 - \frac{\alpha}{R}$

y

$\displaystyle \left[ \frac{\partial C}{\partial r} \right]_{r=R} = \frac{\alpha}{R^2}$

Sustituyendo en la ecuación original

$\displaystyle D \frac{\partial C}{\partial r} = kC$

tenemos (cuando $r = R$ )

$\displaystyle D \frac{\alpha}{R^2} = k \left(1 - \frac{\alpha}{R} \right)$

$\implies \displaystyle \alpha = \frac{k}{\frac{k}{R} + \frac{D}{R^2}}$

¿Y si no se da la forma de la solución?

Esto es más fácil de resolver. En este caso, $C$ es una función de $r$ y por lo tanto las derivadas parciales se convertirán en derivadas ordinarias.

$\displaystyle D \frac{dC}{dr} = kC$

o, $\displaystyle D \frac{dC}{C} = k ~dr$

o, $\displaystyle \ln|C| = \frac{k}{D} r + C_1^\prime$

o, $\displaystyle C = C_1 e^{\frac{kr}{D}}$

Aquí, $\displaystyle C_1^\prime$ es la constante de integración y $\displaystyle C_1 = e^{C_1^\prime}$

¿Ayuda? Si no, no dude en preguntar. Le explicaré más.

Answer 2

Utiliza las coordenadas polares. Aquí nada depende de los ángulos, por lo que la ecuación se convierte en una EDO de segundo orden. Su solución general se puede escribir fácilmente. Poniendo la condición de contorno se obtiene la respuesta.