Tengo varias preguntas ingenuas y posiblemente estúpidas sobre las deformaciones de las categorías. Espero que alguien pueda al menos indicarme algunas referencias apropiadas.
¿Qué es una deformación de una categoría (lineal, dg, A-infinito)? ¿Es un "haz de categorías" sobre un esquema? ¿Cómo se puede hacer rigurosa tal noción? ¿Tal vez mediante apilamientos? Supongamos que tomamos un buen esquema $X$ y consideramos $D^b\text{Coh}(X)$ si deformamos $X$ Entonces, ¿obtenemos también una deformación correspondiente de la categoría derivada? ¿Qué aspecto tiene esta deformación correspondiente? ¿Deformamos los morfismos? ¿Los objetos? ¿Ambos?
Del mismo modo, ¿qué pasa en la situación en la que tenemos una categoría de módulos sobre un álgebra $A$ ? Si deformamos el álgebra, ¿obtenemos también una deformación correspondiente de la categoría? De nuevo, ¿a qué se parece?
Y finalmente, en cualquiera de los casos anteriores, ¿existen deformaciones de las respectivas categorías que no corresponden a deformaciones de $X$ o de $A$ respectivamente? Espero que la respuesta sea "sí"; entonces mi siguiente pregunta es: ¿Existen ejemplos agradables de tales deformaciones que aún puedan describirse de forma explícita o geométrica?
Me interesan sobre todo los ejemplos concretos, y menos la teoría general.
Edición 1: Probablemente debería haber mencionado esto cuando lo publiqué por primera vez (¡hace ya casi 3 meses!), pero por alguna razón lo olvidé. Kontsevich ha estado hablando, al menos implícitamente, de las deformaciones de las categorías desde al menos 1994, en el artículo original que introduce la simetría homológica en el espejo. La idea (o "filosofía") parece ser que la teoría de la deformación de una categoría debería tener algo que ver con su (co)homología de Hochschild. Pero todavía no entiendo esta conexión, al menos en algún tipo de generalidad. Tal vez esto se explique en algunos de los artículos ya enumerados en las respuestas de abajo --- lo que más me gustaría ver es cómo relacionar la "deformación de una categoría (lineal/dg/A-infinita)", como quiera que se defina, con la (co)homología de Hochschild.
Tal vez sea algo obvio... pero soy bastante denso y me gustaría que me lo explicaran...
Así que espero que alguien pueda explicarme esto, o indicarme un lugar en un periódico donde se explique.
Voy a añadir una recompensa a esta pregunta sólo por el gusto de hacerlo.
Edición 2: Ver mi respuesta más abajo.
