¿Qué es una deformación de una categoría?

Question

Tengo varias preguntas ingenuas y posiblemente estúpidas sobre las deformaciones de las categorías. Espero que alguien pueda al menos indicarme algunas referencias apropiadas.

¿Qué es una deformación de una categoría (lineal, dg, A-infinito)? ¿Es un "haz de categorías" sobre un esquema? ¿Cómo se puede hacer rigurosa tal noción? ¿Tal vez mediante apilamientos? Supongamos que tomamos un buen esquema $X$ y consideramos $D^b\text{Coh}(X)$ si deformamos $X$ Entonces, ¿obtenemos también una deformación correspondiente de la categoría derivada? ¿Qué aspecto tiene esta deformación correspondiente? ¿Deformamos los morfismos? ¿Los objetos? ¿Ambos?

Del mismo modo, ¿qué pasa en la situación en la que tenemos una categoría de módulos sobre un álgebra $A$ ? Si deformamos el álgebra, ¿obtenemos también una deformación correspondiente de la categoría? De nuevo, ¿a qué se parece?

Y finalmente, en cualquiera de los casos anteriores, ¿existen deformaciones de las respectivas categorías que no corresponden a deformaciones de $X$ o de $A$ respectivamente? Espero que la respuesta sea "sí"; entonces mi siguiente pregunta es: ¿Existen ejemplos agradables de tales deformaciones que aún puedan describirse de forma explícita o geométrica?

Me interesan sobre todo los ejemplos concretos, y menos la teoría general.

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Edición 1: Probablemente debería haber mencionado esto cuando lo publiqué por primera vez (¡hace ya casi 3 meses!), pero por alguna razón lo olvidé. Kontsevich ha estado hablando, al menos implícitamente, de las deformaciones de las categorías desde al menos 1994, en el artículo original que introduce la simetría homológica en el espejo. La idea (o "filosofía") parece ser que la teoría de la deformación de una categoría debería tener algo que ver con su (co)homología de Hochschild. Pero todavía no entiendo esta conexión, al menos en algún tipo de generalidad. Tal vez esto se explique en algunos de los artículos ya enumerados en las respuestas de abajo --- lo que más me gustaría ver es cómo relacionar la "deformación de una categoría (lineal/dg/A-infinita)", como quiera que se defina, con la (co)homología de Hochschild.

Tal vez sea algo obvio... pero soy bastante denso y me gustaría que me lo explicaran...

Así que espero que alguien pueda explicarme esto, o indicarme un lugar en un periódico donde se explique.

Voy a añadir una recompensa a esta pregunta sólo por el gusto de hacerlo.

Edición 2: Ver mi respuesta más abajo.

Answer 1

Esta es una definición que he escuchado: una familia de categorías aditivas sobre un esquema $X$ (digamos, definido sobre un campo $k$ ) es un $k$ -categoría aditiva lineal ${\mathcal C}$ equipado con una estructura de una categoría de módulos sobre la categoría monoidal de láminas (cuasi)coherentes sobre $X$ . Aparentemente, esta configuración es bastante general y flexible, por ejemplo, permite dar sentido a la noción de planitud de dicha familia, etc.

También quiero mencionar que ahora hay un nuevo artículo de van den Bergh sobre esto, arXiv:1002.0259.

Answer 2

Ciertamente no es mi campo, pero tal vez quiera consultar el artículo de Lowen y Van den Bergh Teoría de la deformación de las categorías abelianas . Creo que ahí apareció la primera noción de deformación de una categoría.

Answer 3

Tal vez sea útil mirar estas conferencias de Yekutieli: arXiv:0801.3233. Allí discute las deformaciones retorcidas de las variedades algebraicas $X$ sugerido por Kontsevich, es decir, deformaciones de la categoría de láminas coherentes sobre $X$ . Estas deformaciones están clasificadas por la segunda cohomología de Hochschild de $X$ que por el teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg es $H^0(\wedge^2T)\oplus H^1(T)\oplus H^2({\mathcal O})$ , donde ${\mathcal O}$ es la gavilla de la estructura y $T$ es la gavilla tangente de $X$ .

Aquí, a grandes rasgos, el primer sumando corresponde a deformaciones no conmutativas de la gavilla de estructura (bivectores globales de Poisson), el segundo sumando corresponde a deformaciones conmutativas de esta gavilla (es decir, deformaciones formales de X como variedad), y el tercer término corresponde a las deformaciones de la categoría de gavillas coherentes que no surgen de las deformaciones de la gavilla de estructura como gavilla de álgebras (es decir, las deformaciones de las álgebras existen sólo en las cartas locales pero no se pegan en una gavilla; sólo sus categorías de módulos se pegan en una gavilla de categorías, llamada gerbe).

Otra referencia útil sobre esto puede ser el artículo de van den Bergh arXiv:math/0603200.

Answer 4

Se puede pensar en una pequeña categoría aditiva sobre un campo $F$ nada más que un álgebra asociativa con idempotentes distinguidos. Aquí una categoría "pequeña" es aquella en la que las clases de objetos y morfismos son lo suficientemente pequeñas como para ser un conjunto. Una categoría "aditiva" sobre un campo es aquella en la que los espacios hom son todos espacios vectoriales sobre $F$ pero no exigimos la estructura extra en una categoría abeliana, es decir, núcleos o cokernels o sumas directas. Para convertir la categoría en un anillo, se toma la suma directa de todos los espacios hom. Los elementos de identidad de los objetos se convierten en idempotentes distinguidos. (La construcción es un poco más razonable si la categoría es esquelética, es decir, si sólo hay un objeto de cada tipo de isomorfismo).

Las proyecciones satisfacen algunas propiedades. Todos los pares de ellas se multiplican por cero, y sirven como elemento de identidad particionado para el álgebra. (Si hay infinitos objetos, entonces el anillo no tiene un elemento de identidad).

Por ejemplo, el álgebra de trayectorias de un carcaj se describe tradicionalmente como un álgebra, pero en realidad es una categoría descrita exactamente así, con un objeto por cada vértice del carcaj.

Una vez que te das cuenta de que un $F$ -la categoría aditiva es sólo un álgebra con algunos elementos marcados, se puede deformar. Por ejemplo, la categoría Temperley-Lieb es la categoría cuyos objetos son $n$ puntos de una cadena, y cuyos morfismos son combinaciones lineales de coincidencias planas de $n+k$ puntos, con $n+k$ incluso. El círculo tiene un valor escalar, y este parámetro le da una familia de deformaciones de un par de la categoría TL.

Si se deforma un álgebra $A$ entonces a veces se puede decir que se está deformando la categoría de $A$ -módulos. Pero a veces no, porque en valores especiales de los parámetros, los espacios hom de entre los $A$ -Los módulos pueden ser más grandes y pueden aparecer nuevos módulos. Igual que la dimensión del núcleo de un mapa lineal es semicontinua superior, pero no continua. Si se quiere ser elegante, se podría decir que los homs forman una gavilla en la variedad parámetro y que la dimensión es semicontinua superior. Incluso se podría decir en un sentido de gavilla generalizada que sigue siendo una deformación de la categoría de módulos.

Answer 5

Vale, por fin he dedicado algo de tiempo a revisar algunos documentos de van den Bergh y Lowen con más detalle, que es probablemente lo que debería haber hecho hace tiempo.

El primer documento relevante para mis preguntas es probablemente el documento que javier había publicado originalmente, sobre las deformaciones de las categorías abelianas: http://arxiv.org/abs/math/0405226

Luego hay un documento de seguimiento http://arxiv.org/abs/math/0405227 que pretende explicar cómo la cohomología de Hochschild está relacionada con las deformaciones de las categorías abelianas. Esto parece ser exactamente lo que quería, o al menos lo suficientemente cerca... Sin embargo, este artículo no parece tener ningún ejemplo concreto...

Hay otros trabajos de van den Bergh y Lowen que probablemente sean relevantes y que probablemente debería mirar más a fondo...