Velocidad compleja del vórtice de la línea, simplificación

Question

Estoy considerando el flujo potencial donde tengo un flujo uniforme pasado por el ala y dos vórtices de línea, uno en el origen y otro en una posición $(x_1,y_1)$ en relación con un ala de cuerda $D$ .

Estoy utilizando los siguientes potenciales $$\phi_f(x,y)=Ux+Vy$$ $$\phi_{v1}(x,y)=\frac{\Gamma_1}{2\pi}\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{\Gamma_1}{2\pi}\theta$$ $$\phi_{v2}(x,y)=\frac{\Gamma_2}{2\pi}\tan^{-1}\left(\frac{y-y_1}{x-x_1}\right)=\frac{\Gamma_2}{2\pi}\theta_1$$

He intentado calcular el potencial de velocidad $W(z)=\phi+i\psi$ donde $\phi_x=\psi_y$ y $\phi_y=-\psi_x$ y me bloqueo cuando intento simplificar las ecuaciones.

Sólo considerando el 1er vórtice por ahora mi texto utiliza un ejemplo donde y dice $\theta-i\ln(r)=\ln(z)$ donde $z=x+iy$ . Básicamente, he podido demostrar que $$Z=\frac{y}{x}=-i\frac{z-z^*}{z+z^*}$$ donde $z^*$ es el complejo conjugado. He podido reescribir la parte de la ecuación correspondiente al arco de la curva $$\tan^{-1}(Z)=\frac{i}{2}\ln\left(\frac{1-iZ}{1+iZ}\right)$$ y $$\ln(r)=\frac{i}{2}\ln\left(zz^*\right)$$ para que $$\theta-i\ln(r)=\frac{i}{2}\ln\left(\frac{1-iZ}{1+iZ}\right)-\frac{1}{2}\ln\left(zz^*\right).$$

¿Podrían ayudarme a resolver esto? No he sido capaz de llegar más lejos.

Answer 1

Jugando con el álgebra con los números complejos en forma polar se llegó a esta solución.

Definir el número complejo $z=x+iy$ en forma polar, junto con su conjugado. $$z= re^{i\theta},\; z^*=re^{-i\theta}$$ El producto y el cociente del número complejo y su conjugado, respectivamente, son. $$\therefore zz^*=r^2,\; \ln\left(\frac{z}{z^*}\right)=2i\theta$$

El potencial complejo para un vórtice lineal con el potencial y la función de corriente es $$w(z)=\phi+i\psi$$ $$\phi_v=\frac{\Gamma}{2\pi}\theta,\; \psi_v=-i\frac{\Gamma}{2\pi}\ln\left(r\right)$$

$$w_v(z)=\frac{\Gamma}{2\pi}\left(\theta-i\ln(r)\right)$$ Siga con algo de álgebra $$w_v(z)=\frac{\Gamma}{2\pi}\left(\frac{2i}{2i}\theta-\frac{2}{2}i\ln(r)\right)$$ $$w_v(z)=\frac{\Gamma}{2\pi}\left(\frac{1}{2i}\ln\left(\frac{z}{z^*}\right)-\frac{1}{2}i\ln(zz^*)\right)$$ $$w_v(z)=\frac{\Gamma}{4\pi i}\left(\ln(z)-\ln(z^*)+\ln(z)+\ln(z^*)\right)$$ $$w_v(z)=\frac{\Gamma}{4\pi i}(2\ln(z))=\frac{\Gamma}{2\pi i}\ln(z)$$

La metodología mostrada aquí es válida incluso cuando el vórtice está en $(x_1,y_1)$ o representado como $(r_1,\theta_1)$ .