probablemente abra la teoría de los números problema: finito suma de $\zeta(2)$, equivalente a un cuadrado de racionales

Question

Que $n$ puede dejar a $S=1+\frac14+\frac19+\cdots+\frac1{n^2}$ ser un cuadrado de un número racional? Obviamente, $1$ $3$ del trabajo, pero, ¿cómo demostrar que ellos son los únicos?

Creo que este problema es muy difícil. Me han preguntado muchas profesional número de teóricos en un top-5 departamento de matemáticas en Estados Unidos, y ninguno de ellos puede dar alguna pista. Estoy pensando que esto podría ser una pregunta abierta.

Si usted no puede resolver este problema, intente lo siguiente: vamos a $S=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n}$. Que n puede hacer de este un entero. Probar su resultado. Esta es la propuesta de un famoso matemático de Pesca Tung Yau para un colegio de matemáticas de la competencia.

Esperemos que alguien puede dar una pista Nº 1. Me sugirió que si no puede solucionar el primero, pero le gustaría ver una respuesta, la tasa de este problema, de modo que pueda tener una mejor oportunidad de traer más expertos para una solución. Gracias!

También se aprecia si desea publicar sus pensamientos en Yau del problema!

Answer 1

Yo no veo nada intuitivo sobre el primer problema, por lo que se puso en el ordenador. Yo normalizado por tener el denominador en el paso $n$ $(n!)^2.$ a Un ser humano sería probable que el uso de $\operatorname{lcm}(1,2,3,\ldots,n)^2 $, que es mucho más pequeño, pero el equipo no le importa.

Hay algunas razones para esperar que la conjetura para ser verdad. Los números primos $2,3,7$ son especiales. Para los otros primos, $5,11,13,17,19,...$ el siguiente patrón que sucede y, probablemente, puede ser demostrado: un extraño poder de la primer divide el numerador de la $$ n = (p-1)/2, \; \; n = (p-1), $$ $$ p (p-1)/2 \leq n \leq p (p+1)/2 - 1, \; \; \; p (p-1) \leq n \leq p^2 - 1, $$ $$ p^2 (p-1)/2 \leq n \leq p^2 (p+1)/2 - 1, \; \; \; p^2 (p-1) \leq n \leq p^3 - 1, $$ $$ p^3 (p-1)/2 \leq n \leq p^3 (p+1)/2 - 1, \; \; \; p^3 (p-1) \leq n \leq p^4 - 1, $$ Evidentemente los exponentes de $2$ $3$ siempre son incluso. El patrón de extraño exponentes de la $7$ es de la misma densidad que el mayor de los números primos, pero los comienzos son un poco fuera de: $6,26; 42-28,182-188; 294-342,1274-1322,$ y así sucesivamente. Multiplicar cada intervalo de valor inicial por $7$ y el intervalo de longitud por $7.$

 October 31 

2  5 = .5
3  49 = 7^2
4  820 = 2^2.5 .41
5  21076 = 2^2.11 .479
6  773136 = 2^4.3^2.7.13 .59
7  38402064 = 2^4.3^2 .266681
8  2483133696 = 2^8.3^2.17 .63397
9  202759531776 = 2^8.3^4.19 .514639
10  20407635072000 = 2^10.3^4.5^3.11 .178939
11  2482492033152000 = 2^10.3^4.5^3.23.43 .242101
12  359072203696128000 = 2^14.3^6.5^3.13 .18500393
13  60912644957448192000 = 2^14.3^6.5^3 . mbox{BIG} 
14  11977654199703478272000 = 2^16.3^6.5^3.7^2.29.7417 .190297
15  2702572249389834608640000 = 2^16.3^8.5^4.7^2.31.37.97 .1844659
16  693568508096521859235840000 = 2^22.3^8.5^4.7^2.17.619 .78206663
17  200879061976592212371701760000 = 2^22.3^8.5^4.7^2.601.643 .616798327
18  65211329626921423978616586240000 = 2^24.3^12.5^4.7^2.19.37.8821 .38512247
19  23582280384386431339420597616640000 = 2^24.3^12.5^4.7^2 . mbox{BIG} 
20  9447709684208047354981782650880000000 = 2^28.3^12.5^7.7^2.41 . mbox{BIG} 
21  4172358982917138811232383590727680000000 = 2^28.3^14.5^7.7^6.37.43.2621 .84786899
22  2022032032103888142745742749697310720000000 = 2^30.3^14.5^7.7^6.11^2.23.295831 .52030193
23  1070918322619001419237384155013872353280000000 = 2^30.3^14.5^7.7^6.11^2.47.127 . mbox{BIG} 
24  617517280598012406503198094472283821178880000000 = 2^36.3^16.5^7.7^6.11^2.59.2237 . mbox{BIG} 
25  386333256592971085341438546047330355354009600000000 = 2^36.3^16.5^8.7^6.11^2.157.3119 . mbox{BIG} 
26  261401879093856785738899792754340924667566489600000000 = 2^38.3^16.5^8.7^7.11^2.13^2.53.70853.106357 .8408339
27  190724613862039229268164987801324162689677026918400000000 = 2^38.3^20.5^8.7^6.11^2.13^2.307.110023 . mbox{BIG} 
jagy@phobeusjunior

Qué hice lo tenía todo que ver con los patrones extraños de los exponentes. Hice un limitado factorización de eache denominador, la divisibilidad sólo por los números primos hasta el $2n+1.$ Como resultado de ello, en general hay algunos grandes factor de $F$ restante, probablemente compuesto, pero no importa. Luego me pidió $F \bmod 8,$, en los cuatro primeros números primos $q$ de manera tal que el símbolo de Jacobi $(F|q) = -1.$ Estos dan un resultado más satisfactorio sentir que simplemente pidiendo al equipo si $F$ es un cuadrado, dan una razón específica para no ser un cuadrado. Oh, para ahorrar espacio, me dejó la impresión de que el denominador sí mismo y dejó la impresión de los (muchos) factores primos, incluso con los exponentes. Ellas llegaron a ser muy numerosos, por $p = 5,11,13,17,...$ el primer exponentes mantenido siempre el mismo o mayor para $n \geq 2p.$ pongo este siguiente de la lista hasta el 74 por lo que podía ver cómo el exponente de 5 permanecido extraño $50 \leq n \leq 74$ aumentando por 2.

2 = .5
3 = 
4 = .5 .41
5 = .11 . mbox{big non-square}      8: 7  J 3  J 7  J 11  J 13
6 = .7.13 .59
7 =  . mbox{big non-square}      8: 1  J 3  J 11  J 23  J 29
8 = .17 . mbox{big non-square}      8: 5  J 5  J 7  J 19  J 29
9 = .19 . mbox{big non-square}      8: 7  J 7  J 13  J 23  J 37
10 = .5^3.11 . mbox{big non-square}      8: 3  J 7  J 11  J 13  J 17
11 = .5^3.23 . mbox{big non-square}      8: 7  J 5  J 7  J 13  J 19
12 = .5^3.13 . mbox{big non-square}      8: 1  J 3  J 5  J 11  J 13
13 = .5^3 . mbox{big non-square}      8: 5  J 3  J 7  J 13  J 17
14 = .5^3.29 . mbox{big non-square}      8: 1  J 11  J 13  J 17  J 19
15 = .31 . mbox{big non-square}      8: 7  J 13  J 17  J 29  J 31
16 = .17 . mbox{big non-square}      8: 5  J 3  J 5  J 11  J 17
17 =  . mbox{big non-square}      8: 5  J 7  J 19  J 23  J 29
18 = .19.37 . mbox{big non-square}      8: 3  J 3  J 5  J 11  J 17
19 =  . mbox{big non-square}      8: 5  J 3  J 7  J 23  J 29
20 = .5^7.41 . mbox{big non-square}      8: 1  J 3  J 7  J 11  J 19
21 = .5^7.37.43 . mbox{big non-square}      8: 7  J 7  J 11  J 19  J 29
22 = .5^7.23 . mbox{big non-square}      8: 7  J 3  J 5  J 7  J 13
23 = .5^7.47 . mbox{big non-square}      8: 7  J 3  J 5  J 17  J 23
24 = .5^7 . mbox{big non-square}      8: 5  J 7  J 13  J 17  J 23
25 =  . mbox{big non-square}      8: 1  J 3  J 7  J 37  J 47
26 = .7^7.53 . mbox{big non-square}      8: 3  J 11  J 17  J 19  J 37
27 =  . mbox{big non-square}      8: 1  J 13  J 31  J 43  J 47
28 = .29 . mbox{big non-square}      8: 5  J 3  J 11  J 13  J 17
29 = .59 . mbox{big non-square}      8: 3  J 3  J 7  J 19  J 31
30 = .31.61 . mbox{big non-square}      8: 3  J 11  J 19  J 23  J 47
31 = .43 . mbox{big non-square}      8: 3  J 5  J 11  J 13  J 23
32 =  . mbox{big non-square}      8: 5  J 13  J 37  J 47  J 59
33 = .67 . mbox{big non-square}      8: 7  J 5  J 19  J 23  J 53
34 = .59 . mbox{big non-square}      8: 7  J 3  J 7  J 17  J 19
35 = .71 . mbox{big non-square}      8: 3  J 3  J 7  J 19  J 41
36 = .37.41.73 . mbox{big non-square}      8: 1  J 3  J 7  J 23  J 29
37 =  . mbox{big non-square}      8: 5  J 7  J 13  J 17  J 43
38 =  . mbox{big non-square}      8: 5  J 7  J 13  J 17  J 53
39 = .79 . mbox{big non-square}      8: 3  J 7  J 11  J 19  J 23
40 = .41 . mbox{big non-square}      8: 5  J 3  J 11  J 13  J 19
41 = .83 . mbox{big non-square}      8: 7  J 3  J 5  J 11  J 13
42 = .7^11.43 . mbox{big non-square}      8: 1  J 13  J 29  J 31  J 37
43 = .7^11 . mbox{big non-square}      8: 3  J 5  J 11  J 13  J 23
44 = .7^11.89 . mbox{big non-square}      8: 3  J 3  J 5  J 7  J 19
45 = .7^11 . mbox{big non-square}      8: 3  J 5  J 13  J 23  J 41
46 = .7^11.47 . mbox{big non-square}      8: 5  J 3  J 7  J 29  J 43
47 = .7^11 . mbox{big non-square}      8: 3  J 5  J 13  J 41  J 43
48 = .7^11.97 . mbox{big non-square}      8: 7  J 7  J 17  J 19  J 23
49 =  . mbox{big non-square}      8: 1  J 11  J 17  J 23  J 59
50 = .5^21.101 . mbox{big non-square}      8: 1  J 13  J 29  J 37  J 41
51 = .5^21.103 . mbox{big non-square}      8: 3  J 3  J 5  J 11  J 13
52 = .5^21.53.59 . mbox{big non-square}      8: 3  J 3  J 5  J 11  J 17
53 = .5^21.107 . mbox{big non-square}      8: 7  J 5  J 7  J 13  J 19
54 = .5^21.109 . mbox{big non-square}      8: 1  J 7  J 19  J 23  J 41
55 = .5^23.11^9 . mbox{big non-square}      8: 7  J 3  J 7  J 11  J 23
56 = .5^23.11^9.113 . mbox{big non-square}      8: 7  J 5  J 7  J 11  J 17
57 = .5^23.11^9 . mbox{big non-square}      8: 7  J 3  J 7  J 11  J 23
58 = .5^23.11^9.59 . mbox{big non-square}      8: 5  J 11  J 13  J 19  J 23
59 = .5^23.11^9 . mbox{big non-square}      8: 7  J 3  J 7  J 11  J 23
60 = .5^25.11^9.61 . mbox{big non-square}      8: 3  J 3  J 17  J 41  J 61
61 = .5^25.11^9 . mbox{big non-square}      8: 7  J 3  J 7  J 11  J 23
62 = .5^25.11^9 . mbox{big non-square}      8: 7  J 3  J 7  J 11  J 23
63 = .5^25.11^9.127 . mbox{big non-square}      8: 1  J 3  J 5  J 7  J 19
64 = .5^25.11^9 . mbox{big non-square}      8: 3  J 3  J 7  J 11  J 23
65 = .5^27.11^9.131 . mbox{big non-square}      8: 1  J 17  J 23  J 31  J 41
66 = .5^27.67 . mbox{big non-square}      8: 3  J 5  J 7  J 17  J 19
67 = .5^27.107 . mbox{big non-square}      8: 3  J 3  J 5  J 7  J 11
68 = .5^27.137 . mbox{big non-square}      8: 1  J 3  J 5  J 7  J 17
69 = .5^27.139 . mbox{big non-square}      8: 3  J 11  J 13  J 23  J 31
70 = .5^29.71 . mbox{big non-square}      8: 7  J 3  J 7  J 19  J 23
71 = .5^29 . mbox{big non-square}      8: 1  J 7  J 13  J 17  J 23
72 = .5^29.73 . mbox{big non-square}      8: 1  J 5  J 11  J 23  J 29
73 = .5^29 . mbox{big non-square}      8: 1  J 7  J 13  J 17  J 23
74 = .5^29.149 . mbox{big non-square}      8: 5  J 3  J 7  J 11  J 17

Muy bien entonces. La gran mayoría de $n$ dar a los no-plazas porque de uno de los pocos mecanismos. (A) a Menudo el numerador es divisible por un primo $p \leq 2n+1$ a un extraño poder. (B) Después de dividir por todos los números primos, el cociente es $3,5,7 \bmod 8.$ (C) El cociente es $2 \bmod 3.$ (D) El cociente es una ecuación cuadrática nonresidue $\bmod 7.$

De hecho, las cuatro condiciones de la regla a todos, excepto a los nueve valores de $n \leq 12235,$ que son atendidos por el resto de cociente de ser una ecuación cuadrática nonresidue $\bmod {17}.$

49 =  . mbox{big non-square}      8: 1  J 11  J 17  J 23  J 59
244 =  . mbox{big non-square}      8: 1  J 17  J 19  J 23  J 47
4082 =  . mbox{big non-square}      8: 1  J 17  J 19  J 23  J 29
4084 =  . mbox{big non-square}      8: 1  J 17  J 19  J 23  J 29
4086 =  . mbox{big non-square}      8: 1  J 17  J 19  J 23  J 29
4088 =  . mbox{big non-square}      8: 1  J 17  J 19  J 23  J 29
4091 =  . mbox{big non-square}      8: 1  J 17  J 19  J 23  J 29
4093 =  . mbox{big non-square}      8: 1  J 17  J 19  J 23  J 29
4094 =  . mbox{big non-square}      8: 1  J 17  J 19  J 23  J 29

Answer 2

El primer problema, que esencialmente le pregunta si $\sqrt{H_n^{(2)}}$ donde $H_n^{(2)}$ es un Generalizada Número Armónico, nunca puede ser racional para $n\ge4$, es muy duro. No veo una forma de acercarse a ella.

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El Segundo Problema

Deje $k_n\in\mathbb{Z}$, para que $2^{k_n}\le n\lt2^{k_n+1}$. El único entero que no excede $n$ divisible por $2^{k_n}$$2^{k_n}$.

Deje $d_n=b_n2^{k_n}$ ser el MCM de a $\{k:1\le k\le n\}$ donde $b_n$ es impar. $\dfrac{d_n}{2^{k_n}}$ es el único número impar en $$ \left\{\dfrac{d_n}{k}:1\le k\le n\right\} $$ Por lo tanto, $$ d_n\sum_{k=1}^n\frac1k $$ es un número impar. Desde $d_n$ es un número par para $n\ge2$, obtenemos que $$ \sum_{k=1}^n\frac1k $$ no puede ser un número entero para $n\ge2$.

Answer 3

He comprobado que hay sólo 2 casos por primera 100000 sumas parciales.

Aquí está el código de Mathematica he utilizado:

Count[
  ParallelTable[Sqrt[HarmonicNumber[r, 2]] ∈ Rationals, {r, 100000}],
  True
]

(* 2 *)