Suma de series de potencias utilizando sólo la diferenciación

Question

Encuentre la suma de $\sum _{n=1}^\infty n (2 n+1) x^{2 n}$ utilizando sólo la diferenciación y sabiendo que $\sum _{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}$

Yo empecé así:

$n^2=n(n-1)+n$

así que $\sum _{n=1}^\infty n(2n+1)x^{2n}=\sum _{n=1}^\infty (2n^2+n)x^{2n}=2\sum _{n=?}^\infty n(n-1)x^{2n}+3\sum _{n=?}^\infty nx^{2n}$

pero como puedes ver no sé en qué $n$ comienza la suma (por eso lo he marcado con "?").

Entonces iría $x^2=t$

así que $2\sum _{n=?}^\infty n(n-1)t^{n}+3\sum _{n=?}^\infty nt^{n} = 2t^2\sum _{n=?}^\infty n(n-1)t^{n-2}+3t\sum _{n=?}^\infty nt^{n-1} = 2t^2(\sum _{n=0?}^\infty t^n)''+3t(\sum _{n=0?}^\infty t^n)'=2t^2(\frac{1}{1-t})''+3t(\frac{1}{1-t})'$

y entonces es sencillo.

Pero, ¿tengo razón? ¿Se puede calcular la suma así? Si no, cómo encontrar la constante al integrar $\sum _{n=1}^\infty n(2n+1)x^{2n}$ ?

Porque $\int \sum _{n=1}^\infty n(2n+1)x^{2n}dx=\sum _{n=1}^\infty n(2n+1)\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+C$ y no sé cómo encontrar la C si no sé qué función representa nuestra suma.

Answer 1

Desde $$\frac{1}{1 - x} = \sum^{\infty}_{n = 0}x^n$$

hacemos una simple sustitución para deducir que

$$\frac{1}{1 - x^2} = \sum^{\infty}_{n = 0}x^{2n}$$

Multiplicando ambos lados por $x$ ,

$$\frac{x}{1 - x^2} = \sum^{\infty}_{n = 0}x^{2n + 1}$$

Diferenciando ambos lados con respecto a $x$ dos veces, tenemos:

$$\frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{x}{1 - x^2}\right) = \sum^{\infty}_{n = 0}2n(2n + 1)x^{2n - 1}$$

Multiplicando ambos lados por $\frac{x}{2}$ ,

$$\frac{x}{2}\frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{x}{1 - x^2}\right) = \sum^{\infty}_{n = 0}n(2n + 1)x^{2n}$$

Answer 2

Tenemos $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^{2n}=\sum_{n=0}^\infty (x^2)^n=\frac1{1-x^2}$ para $|x^2|<1$

$$\implies \sum_{n=0}^\infty x^{2n+1}=\frac x{1-x^2}$$

$$\implies2\sum_{n=0}^\infty x^{2n+1}=\frac1{1-x}-\frac1{1+x}$$

Diferenciación wrt $x$

$$\implies2\sum_{n=0}^\infty (2n+1)x^{2n}=\frac1{(1-x)^2}+\frac1{(1+x)^2}$$

De nuevo, diferencie entre $x$

Answer 3

Obsérvese que al diferenciar $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ una vez, formará $$f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}.$$

Ahora, sustituyendo $x$ por $x^2$ y multiplicando por $x^3$ hará que los exponentes $2n+1$ aparecen, dando $$x^3f'(x^2)=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{2n+1}.$$

Derive una vez más para obtener $$(x^3f'(x^2))'=\sum_{n=1}^{\infty}n(2n+1)x^{2n}.$$ Por casualidad, tanto los coeficientes como los exponentes son ahora los deseados.

Para manipular series completas, hay varias reglas que puedes utilizar:

1. Diferenciar: $f'(x)=\sum na_nx^{n-1}$ . Multiplica los términos por los exponentes.
2. Integrar: $\int f(x) dx=\sum \frac{a_n}nx^{n+1}$ . Divide los términos entre los exponentes.
3. Elevar $x$ a una potencia: $f(x^p)=\sum a_nx^{pn}$ . Escala los exponentes.
4. Multiplicar o dividir por una potencia: $x^{\pm q}f(x)=\sum a_nx^{n\pm q}$ . Desplaza los exponentes.

Answer 4

Este es un problema de tarea, por lo que sólo daré buenas pistas en lugar de trabajarlo directamente.

Pista 1: Puedes escribir $n(2n+1)x^{2n} = \frac{x}{2}(2n+1)(2n)x^{2n-1}=\frac{x}{2}(x^{2n+1})''$

Pista 2: Puedes escribir $\sum_k x^{ak+b} = x^b\sum_k(x^a)^k$

Pista 3: Puedes mover los términos a la suma: $\sum_{k=N}^{\infty}c_k=\left(\sum_{k=0}^{\infty}c_k\right) -c_0-c_1-\cdots-c_{N-1}$

Answer 5

$$S=\sum _{n=1}^\infty n (2 n+1) x^{2 n}$$ $$2S=\sum _{n=1}^\infty 2n (2 n+1) x^{2 n}$$ $$\dfrac {2S}x=\sum _{n=1}^\infty 2n (2 n+1) x^{2 n-1}$$ Pues eso: $$\dfrac {2S}x=\left(\sum _{n=1}^\infty x^{2 n+1}\right)''=\left(\dfrac x{1-x^2}\right)''$$ Finalmente: $$\implies S=\left(\dfrac {x^2}{1-x^2}\right)$$