Aplicación de la regla integral de Leibniz

Question

El libro de texto afirma lo siguiente citando la regla integral de Leibniz:

Sin embargo, no soy capaz de ver qué se hizo exactamente. Entiendo la regla de Leibniz, pero no soy capaz de verla en los dos casos anteriores. Ni siquiera estoy seguro de qué $I$ y $J$ se está integrando con respecto a.

Se agradecería alguna idea al respecto.

Answer 1

El primero es simplemente el teorema fundamental del cálculo. Si $$f(t)=\int_0^t F(u)du$$ entonces $$I(x)=\int_0^x f(t)dt \Rightarrow I'(x)=f(x) = \int_0^x F(u)du$$

Para la segunda, dejemos $$g(x,u)=(x-u)F(u)$$ Si F es continua, entonces también lo son $g$ y $\frac{\partial g}{\partial x}\equiv F$ . Por la regla integral de Leibniz,

$$\frac{d}{dx} \int_0^z g(x,u) du = \int_0^z \frac{\partial g}{\partial x}(x,u)du$$

$$\Rightarrow \frac{d}{dx}J(x)=\int_0^z F(u)du$$

Answer 2

Una pista: Para $I'(x)$ utilizar el teorema fundamental del cálculo. Para $J'(x)$ utilizar el hecho de que $$J(x) = x\int_0^z F(u)\,du - \int_0^z u F(u)\,du$$