Quería saber si mi prueba está bien o no. Me parece que cerca del final, es incorrecta, lo cual explicaré. La pregunta es:
Dejemos que $f:\mathbb{R^{m}}\rightarrow\mathbb{R^{n}}$ sea continua en $\mathbb{R^{m}}$ y $D\subseteq\mathbb{R^{m}}$ estar acotado. Demuestre que $f\left(D\right)\subseteq\mathbb{R^{n}}$ está acotado.
Mi respuesta:
Desde $D$ está acotada, entonces por el Teorema de Bolzano-Weierstrass, para toda secuencia $\left(x_n\right)\in D$ existe una subsecuencia convergente $\left(x_{n_k}\right)$ . Sea $\lim\left(x_{n_k}\right)=x$ . Desde $f$ es continua, entonces $\lim\left(f\left(x_{n_k}\right)\right)=f\left(x\right)$ . Como toda subsecuencia $\left(f\left(x_{n_k}\right)\right)\in f\left(D\right)$ converge, entonces $f\left(D\right)$ es secuencialmente compacto. Por lo tanto, $f\left(D\right)$ es compacto (ya que la compacidad y la compacidad secuencial son equivalentes en un espacio métrico), por lo que está acotado.
Al final, no estoy seguro de que la afirmación de que $f\left(D\right)$ es compacto es cierto. Si un subconjunto de un espacio métrico es compacto, entonces es cerrado y acotado. Pero no veo intuitivamente cómo $f\left(D\right)$ está cerrado cuando sólo sabemos que $D$ está acotado.
