En la misma línea que Kate y Scott ¿Por qué son interesantes las categorías de fusión? Sé que dada una categoría de fusión "convenientemente bonita" (lo que probablemente significa añadir adjetivos como "unitaria", "esférica" y "pivotante"), obtenemos un álgebra plana subfactorial que, a su vez, nos da un subfactor. Además, entiendo vagamente que estas categorías nos dan TQFTs de Turaev Viro.
¿Qué más hacen las categorías de fusión? ¿Cuál es una buena referencia para el material de Turaev Viro?
Categorías de fusión (más de $\mathbb{C}$ ) son una generalización natural de los grupos finitos y su comportamiento sobre $\mathbb{C}$ . La teoría de la representación compleja de un grupo finito es una categoría de fusión, pero hay muchas otras. De hecho, se puede pensar en una categoría de fusión como una generalización no conmutativa de un grupo finito. Un álgebra de Hopf de dimensiones finitas también lo es, pero no tienen por qué ser semisimples, mientras que las semisimples dan lugar a muchas categorías de fusión, pero de nuevo no a todas.
Muchos de los resultados básicos sobre la estructura y la teoría de la representación de los grupos finitos se generalizan, o parece que podrían generalizarse, a las categorías de fusión. Etingof y otros han elaborado este principio de forma muy incompleta pero interesante. Por ejemplo, existe un análogo del teorema según el cual la dimensión del complejo irrep de un grupo finito $G$ divide $|G|$ . (Adenda: Un análogo cualificado, como señalan Scott y Noah. Si la categoría es trenzada, es un análogo estricto; en caso contrario, es un análogo de dividir $|G|^2$ .) También hay álgebras de Hopf semisimples y otras categorías de fusión que se parecen mucho a $p$ -grupos.
Se puede pensar en toda la teoría como una teoría reiniciada de grupos finitos. Sin embargo, estamos a kilómetros y kilómetros de distancia de cualquier categoría de fusión equivalente a la clasificación de grupos simples finitos. Es una lucha por hacer categorías de fusión que no se deriven muy estrechamente de los grupos finitos, o que no provengan de grupos cuánticos en raíces de unidad. Sólo se conocen algunos tipos de ejemplos, y quién sabe qué más hay por ahí.
Una cosa atractiva que sí cambia es que las dimensiones de los objetos irreducibles en una categoría de fusión no tienen por qué ser enteras. Por ejemplo, una de las categorías de fusión más sencillas es la categoría Fibonacci. Tiene dos objetos irreducibles, el trivial $I$ y el otro objeto $F$ . La dimensión de $F$ es la proporción áurea, como se puede deducir de la ecuación de ramificación $F \otimes F \cong F \oplus I$ . (Pero las dimensiones son enteros algebraicos, e incluso enteros algebraicos ciclotómicos. De ahí que la divisibilidad siga siendo una cuestión sensata).
También podría preguntarse por qué el caso semisimple. Como se aprende en la teoría de la representación de grado o de posgrado básico, la teoría de la representación semisimple de un grupo finito es mucho más limpia que la teoría de la representación modular en característica positiva.
Y sí, también se obtienen invariantes de 3 manificios y subfactores.
Por referencias: Realmente el artículo original de Turaev y Viro, invariantes de la suma de estados de los 3manifolds y símbolos 6j es bastante bueno. La generalización a las categorías esféricas se debe a Barrett y Westbury, Invariantes de los 3manifolds a trozos lineales . Y hay una discusión en el libro de Turaev.
Un esquema: Recordemos que una expresión independiente de la base en el cálculo tensorial tiene la estructura de un grafo con vértices etiquetados por tensores y aristas etiquetadas por espacios vectoriales. Una categoría monoidal permite la evaluación de expresiones similares, excepto que el grafo debe ser plano y acíclico. En una categoría pivotante rígida, hay buenos duales y el grafo sólo necesita ser plano. En una categoría esférica, la traza izquierda es igual a la traza derecha, por lo que se puede dibujar un gráfico cerrado en una esfera. Si es esférica, rígida y semisimple, entonces se puede utilizar el grafo de un tetraedro para hacer una interacción local en los tetraedros de un 3-manifold triangulado, y el resultado hasta la normalización es el invariante del 3-manifold de Turaev-Viro. (En este escenario hay que dualizar los tetraedros, de modo que un morfismo tensorial en la categoría esté asociado a una cara del tetraedro).
Estoy muy lejos de ser un experto en la materia, pero ya he tenido que responder a esta pregunta. Aportaré algunas de mis respuestas que parecen omitirse en el debate anterior.
Los anillos de fusión, o reglas de fusión, aparecen en ciertos "experimentos mentales" físicos (aunque no me consta que se hayan observado realmente). Por ejemplo, los "anyones" se definen mediante ciertas reglas de fusión, y si existieran serían útiles en la computación cuántica. En el dogma de la teoría de campos, para que estas reglas de fusión sean físicamente significativas, tiene que haber una categorización de las mismas, que sería una categoría de fusión. Esto inicia una amplia clase de problemas: dado un anillo de fusión, decidir si tiene o no una categorización, y si es así, cuántas (hasta la equivalencia). Por el teorema de rigidez de Ocneanu, sólo hay un número finito de categorizaciones de cualquier anillo de fusión dado, por lo que posiblemente sea un problema "manso" de resolver.
No hay esperanza (por el momento, según el comentario de Greg =]) de clasificar completamente las categorías de fusión en ningún sentido, por lo que tengo entendido. La clasificación de las categorías de fusión abarcaría no sólo la clasificación de los grupos finitos, sino también la de los grupos de Lie compactos (a través de la construcción del módulo basculante en el grupo cuántico asociado que da lugar a una categoría de fusión). Así que la gente clasifica las categorías de fusión en clases pequeñas bajo el supuesto de que las categorías teóricas de grupos (las definidas puramente en términos de teoría de grupos: representaciones de grupos, cohomología de grupos, equivalencias de morita, etc.) es "fácil" y quieren estudiar la diferencia entre los dos contextos.
Greg mencionó que el estudio de las categorías de fusión es como el estudio de las álgebras de Hopf semisimples, excepto que (a) no existe necesariamente un functor de fibra a los espacios vectoriales, y (b) incluso si existe abstractamente uno, no se elige uno. Si se admite el interés por estudiar las álgebras de Hopf, entonces hay que admitir el interés por las categorías de fusión como una especie de versión "sin bases". Una aplicación directa a los grupos finitos es precisar la relación exacta entre los grupos D_8 y los cuaterniones. Obviamente no son isomorfos; sin embargo, sus anillos de grupo son morita equivalentes como anillos (ya que tienen el mismo número de irreductibles). Sus irreductibles tienen incluso las mismas dimensiones, por lo que se puede preguntar si sus categorías de fusión son equivalentes como categorías de fusión (no lo son en este caso, pero hay algunos grupos no isomorfos que son los llamados "isocategóricos", lo que significa que no sólo sus anillos de grupo son isomorfos, sino que las álgebras de Hopf son equivalentes como álgebras de Hopf. La forma más sensata de demostrar este tipo de afirmaciones es a través de las categorías de fusión.
En mi caso, soy una persona con una mentalidad bastante concreta, pero que, sin embargo, intenta comprender lo mejor posible la geometría algebraica moderna, la topología algebraica y la teoría de categorías. Las categorías de fusión han sido un descubrimiento fantástico para mí, porque en muchos aspectos son construcciones del tipo de la teoría de la homotopía/categorías superiores, pero son lo más sencillo que se puede conseguir (porque básicamente se han restringido los morfismos 1 tanto como sea posible por el supuesto de la semisimplicidad, y sólo se centran en los morfismos superiores). Así, por ejemplo, el primer 2-grupoide que pude entender en términos completamente concretos surge en un artículo de Etingof Nikshych y Ostrik sobre categorías de fusión. Como tal, pueden verse como un jardín de infancia de las categorías superiores.
Por cierto, también hay cierto interés en las "categorías tensoriales finitas" que no son semisimples pero satisfacen las demás condiciones de finitud de las categorías de fusión. (por lo que se tiene un número finito de objetos simples, y se postula que cada objeto es una extensión de longitud finita de los simples). En realidad hay una gran parte de la teoría de las categorías de fusión que se generaliza aquí. Hasta donde yo sé, el único obstáculo para desarrollar esta noción de forma más completa es que nadie ha tenido tiempo de hacerlo todavía.
También escribí una secuencia de entradas de blog explicando la construcción de Turaev-Viro desde el punto de vista de las álgebras planas. Tiene bonitas imágenes y puede ser relevante.
TQFTs mediante álgebras planas I
Las categorías de fusión (unitarias) son interesantes en física porque clasifican las fases vacías en la frontera de los estados cuánticos 2+1D de la materia. Del mismo modo, las categorías tensoriales modulares unitarias son interesantes en física porque clasifican las fases de vacío de los estados cuánticos 2+1D de la materia. Tengo dos artículos para explicar las conexiones arXiv:1405.5858 y arXiv:1311.1784 .
La relación entre las categorías de fusión (suficientemente bonitas) y las álgebras planas subfactoriales es un poco complicada. Hay que tener en cuenta tres cosas.
Casi trivialmente, una categoría de fusión pivotante da un álgebra plana no sombreada. Esto no es más que desentrañar definiciones. Sin embargo, esto no da un álgebra plana subfactorial.
Alternativamente, puede tomar la "parte alternante" de su categoría de fusión $\mathcal{C}$ con respecto a su objeto favorito $V$ . Esto define esencialmente un álgebra plana sombreada con $\mathcal{P}_k = \operatorname{End}(V \otimes V^* \otimes ... V)$ ( $k$ factores tensoriales). Se trata de un útil e interesante invariante valorado por el subfactor del par $(\mathcal{C}, V)$ .
Por último, una equivalencia categórica de Morita entre dos categorías de fusión es precisamente un subfactor de profundidad finita (las dos categorías de fusión son los bimódulos A-A y B-B, la equivalencia de Morita y su inversa son los bimódulos A-B y B-A).
(Atención, todo lo anterior puede requerir añadir adjetivos...)
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