Números de bobina en el análisis complejo y el teorema de Cauchy-Goursat

Question

No entiendo donde se usa el teorema de cauchy goursat y si es en el lugar subrayado entonces porque se usa ahí porque la función no es holomorfa en z0. B. r z0 representa un círculo de radio r alrededor y el delta significa el límite

Answer 1

Definir $$\begin{array}{rccc}\eta\colon&[0,2\pi]&\longrightarrow&\mathbb C\\&t&\mapsto&z_0+re^{it}.\end{array}$$ Entonces los caminos $\gamma$ y $\eta$ son homotópicas y, por tanto, por el teorema de Cauchy-Goursat (me refiero al teorema 1.10.7 de estas notas ), $$\int_\gamma\frac{\mathrm dz}{z-z_0}=\int_\eta\frac{\mathrm dz}{z-z_0}.$$

Answer 2

Tengo la respuesta. La clave es tomar la integral del dominio con el círculo alrededor de z0 eliminado por eso la integral es 2pi y no cero porque esto es un corolario del teorema de cauchy goursat.