Ayuda para empezar a evaluar esta integral como una serie de potencia

Question

Estoy estudiando para el GRE de asignaturas de matemáticas este otoño, así que estoy repasando todo lo que hay en Calculus - Early Transcendentals 6th Ed. de Stewart. Me he topado con una pared de ladrillos con este problema, de la primera sección sobre representaciones de series de potencias de funciones, en el que se supone que debo evaluar lo siguiente como una serie de potencias:

$$\int \dfrac{x - \arctan(x)}{x^3}dx$$

No sé cómo evaluar el $\dfrac{1}{x^2}$ término como una serie de potencia, ni sé qué hacer con $\dfrac{\arctan (x)}{x^3}$ ya que el término más bajo de la expansión en serie de la arctangente es $x$ .

Sospecho que debe haber algún truco que no estoy viendo, así que cualquier ayuda para empezar sería muy apreciada.

Answer 1

\begin{align} \int \dfrac{x - \arctan(x)}{x^3}dx &= \int \dfrac{x - \sum_{k=0}^\infty{\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}}}{x^3}dx\\ &= \int \dfrac{x - (x + \sum_{k=1}^\infty{\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}})}{x^3}dx\\ &= -\int \dfrac{\sum_{k=1}^\infty{\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}}}{x^3}dx\\ &= -\int \sum_{k=1}^\infty{\frac{(-1)^kx^{2k-2}}{2k+1}} dx\\ &= -\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}\int x^{2k-2} dx \end{align}

Nota: El paso en el que he intercambiado los operadores integrales y de suma requiere algunos condición que sea cierto.