Componentes del producto vectorial

Question

Consideremos un paralelogramo $ABCD$ avec $A(3,-2,-1)$ , $B(2,1,3)$ y $C(0,4,1)$ encontrar las coordenadas de $D$ y calcula el área de este paralelogramo

Answer 1

Un paralelogramo se puede dividir en dos triángulos de igual área mediante una diagonal, es decir, si se encuentra el área del triángulo ABC y se multiplica por dos, se obtiene el área del paralelogramo. El área del triángulo es la mitad del producto de dos lados y el ángulo entre ellos, en tu caso el área del triángulo es 1/2{(AB)(BC)sin*} donde * es el ángulo entre A y B, y sabes que (AB)(BC)sin* = ABxBC(producto cruzado), el doble del área de este triángulo es el área de tu paralelogramo, por lo que el área del paralelogramo es (ABxBC).

Answer 2

$$\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{AB}+\vec{AC}.$$

Para el área, sabes (espero) que la altitud viene dada por $$Alt=\left\|\vec{AB}-\frac{\left<\vec{AB},\vec{AC}\right>}{\|\vec{AC}\|^2}\right\|.$$ Te dejo concluir.

Answer 3

$$\quad{\text{Area=}}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}$$ $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}=0$$

Answer 4

Encuentra los vectores C-B = (0-2 ; 4-1 ; 1-3) =(-2 ; 3 ; -2) y A-B = (3-2 ; -2 -1 ; -1 -3)= (1 ; -3 ; -4) Ahora puedes hacer el producto cruzado entre C-B y A-B y el resultado es el área del paralelogramo (porque el paralelogramo son dos triángulos. El área de un triángulo es 0,5 por el producto de dos lados por el seno del ángulo entre esos dos lados que es el producto cruzado). Te recuerdo que debes encontrar la magnitud del vector obtenido del producto cruzado para encontrar el área. De esta manera no necesitas calcular la coordenada D