Por ejemplo, cuando escribimos $\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)$ - infinito que se quiere decir y por qué? Contables? Si incontable - que y por qué?
Respuestas
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No hay necesidad de preguntar acerca de los contables o incontables infinito. El símbolo $\infty$ aquí se utiliza con los siguientes preciso significado.
Deje que $f$ definirse en algunos rayos de $(a,\infty)$. Decimos que $$\lim_{x\to\infty}f(x)=A$$ si existe $A\in\Bbb R$ tal que para cada $\epsilon >0$ existe $M>0$ que $$x>M\implica |f(x)-A|<\epsilon$$
Esto es, para cualquier $\epsilon >0$ se nos ha dado, podemos tomar el valor de $x$ lo suficientemente grande como para hacer que $f$ tan cerca como se desee a $A$.
El más "dramático" (simbólicamente) $$\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$$ significa precisamente que
... por cada $N>0$ existe $M>0$ tales que $x>M\implica f(x)>N$.
Es decir, podemos hacer que $f(x)$ tan grande como queremos sacar $$ x suficientemente grande.
AGREGAR Compara a la notación $$(a,\infty)$$ I que se utilizan en ella. No estamos preguntando acerca de cualquier "infinito", pero sólo sobre el conjunto de los números $x>$. El símbolo $\infty$ es conveniente e intuitiva. Brian usa $(a,\a)$ en lugar de eso!
DiGi
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1925
El $\infty$ en ese límite no se refiere a un infinito de cardinalidad. La expresión
$$\lim_{x\to\infty}f(x)=L$$
es simplemente una abreviatura de la siguiente declaración:
$\qquad\qquad$por cada $\epsilon>0$ hay $x_\epsilon\en\Bbb R$ tales que $|f(x)-L|<\epsilon$ cuando $x\ge x_\epsilon$.
Como se puede ver, no es infinito en cualquier lugar de la declaración. El '$x\to\infty$' en el límite de la notación es un recordatorio de que estamos hablando de lo que sucede cuando $x$ es muy grande; no se refiere a una entidad específica $\infty$.
(De hecho hay una manera de interpretar esta $\infty$ como una entidad específica: nadie puede reemplazar a $\Bbb R$ con el llamado extendido reales, que incluyen dos nuevos puntos $\infty$ y $-\infty$. En efecto, esto añade un extremo en cada extremo de la línea real. Pero estos objetos, a pesar de sus nombres estándar de $\pm\infty$, simplemente son puntos en un espacio alargado, no los números cardinales que puede ser utilizado para el conteo de colecciones infinitas.)
Hagen von Eitzen
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171160
Ninguna de las anteriores. Es por eso que no se dice $\omega$ni $\aleph_0$ ni $\mathbf c$. Más bien, $\infty$, debe ser considerado como un símbolo. No hay infinito realmente se utiliza en la definición: $$\lim_{x\to\infty}f(x)=c\ffi\forall\epsilon>0\colon\existe M\in\mathbb R\colon\forall x>M\colon |f(x)-c|<\epsilon.$$
Matt Dawdy
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5479
El infinito aquí es un punto en el infinito en los dos puntos compactification $\mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \}$ de la línea real. Este es sólo uno de los muchos significados de "infinito" en matemáticas; véase, por ejemplo, de matemáticas.SE pregunta.
jmans
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3018
El infinito en la definición de límite no tiene nada que ver con la cardinalidad. Cardinalidades están relacionados con los tamaños de los conjuntos. Los límites de las funciones no tienen nada que ver con los tamaños, pero en lugar de comportarse como $x$ enfoques de algo. Así, la noción de infinito al acecho debajo de la superficie es la de un conjunto dirigido, y en el caso de límites en la métrica de los espacios de la noción simple de una secuencia. Dirigido conjunto es un poset $(A,\le)$ $A\ne \emptyset$ y para todo $a,b\in A$ existe $c\in A$ con $a\le c$ y $b\le c$. Un tipo particular de ordenadas es el conjunto $\omega$ de los números naturales, con su habitual realizar el pedido.
Como usted probablemente sabe, en el contexto de la métrica de los espacios, de una función $f:X\to Y$ satisface $\lim _{x\a x_0}f(x)=L$ si, y sólo si, para todas las secuencias $x:\omega \a X$ con $\lim _{n\in \omega}x=x_0$ sostiene que $\lim _{n\in \omega}f(x)=L$. Es el tipo de orden de $\omega$ que da lugar al significado usual de las expresiones de $\lim _{n\in \omega }x=x_0$ y $\lim _{n\in \omega }f(x)=L$.
En situaciones que no son de métrica espacios de capturar correctamente los límites de las funciones que se requiere para considerar 'secuencias' más dirigida conjuntos distintos de $\omega$. Estos son los llamados redes. La razón por la que en la métrica de los espacios de secuencias es suficiente que la métrica toma valores en $[0,\infty ]$ y limitar el comportamiento es sensible a 'recibir cerca de $0$'. El conjunto $\{\frac{1}{n}\mediados n\in \mathbb N\}$ da lugar a un discreto conjunto dirigido (después de invertir el orden) que es la razón por secuencias son todo lo que uno necesita para investigar adecuadamente los 'recibir cerca de $0$'.
Así, el subyacente importante infinito cuando se habla de límites no es en absoluto relacionados con cardinalidades, sino más bien como una cantidad que se les permite acercarse a algo - es decir, las redes. Las redes requieren dirigida sets, y el $\infty $ habitual en las definiciones de límites se refiere a la (infinito) dirigido conjunto $\mathbb N$. En definitiva, no es la cardenales, pero en lugar de los ordinales que están en juego.
