Dejemos que $k_1/k$ sea una extensión finita de campos locales no arquimédicos. Sea $A_1 = \{x \in k_1\,: \, \text{mod}_{k_1}(x) \leq 1\}$ denotan el anillo de enteros de $k_1$ y que $A$ sea el anillo de enteros de $k$ . Aquí $\text{mod}_{k_1}(x)$ denota el módulo del automorfismo $y \mapsto xy$ en $k_1$ , siguiendo a Weil.
¿Es cierto que $N_{k_1/k}(A_1) \subset A$ , donde $N_{k_1/k}$ denota el mapa normativo de la extensión $k_1/k$ ?
Sí, si $|k_1:k|=n$ entonces $A_1$ es un programa gratuito $A$ -de rango $n$ . Para $y\in A_1$ , $N(y)$ es el determinante del $A$ -endomorfismo de $A_1$ dado por la multiplicación por $y$ . Así que $N(y)$ es el determinante de algún $n$ -por- $n$ matriz sobre $A$ y por lo tanto es un elemento de $A$ .
En su situación ( $k_1 /k, A_1 /A$ etc.), su pregunta equivale a la igualdad del anillo de enteros (en el sentido habitual) de $k_1$ y su anillo de valoración que se denota por $A_1$ . Hay muchas pruebas diferentes, pero todas están entrelazadas, dependiendo de las definiciones elegidas. Me parece que la respuesta más conveniente (y que aporta información extra esclarecedora) a tu pregunta es la siguiente propiedad general: para un campo $K$ que es completa con respecto a una valoración discreta $v$ y $L/K$ una extensión finita, existe una valoración única $w$ de $L$ que amplía $v$ (y $L$ se completa automáticamente con respecto a $w$ ), y $w$ viene dada por la fórmula $w(x)=v(N_{L/K} (x))/f$ , donde $f$ es el índice de inercia de $L/K$ . Véase, por ejemplo, "Local Fields" de Serre, cap. II, §2.
La norma es continua y multiplicativa. Dado que $A_1$ es un subarreglo compacto de $k_1$ el conjunto $N_{k_1/k}(A_1)$ es un subconjunto multiplicativo cerrado y compacto de $k$ . Sea $S \subset k$ sea cualquier subconjunto multiplicativo cerrado y compacto de $k$ . Entonces $S \subset A$ : Dejemos que $s \in S$ , entonces todos los poderes $s^{n}$ pertenecen a $S$ también. Desde $S$ es compacto y $\text{mod}_{k}: k \rightarrow [0, \infty)$ es continua, existe una constante $C \geq 0$ tal que para todo $t\in S$ tenemos $\text{mod}_k{(t)} \leq C$ . En particular $(\text{mod}_{k}(s))^n \leq C$ para todos $n \geq 1$ y por lo tanto $\text{mod}_{k}(s) \leq 1$ Es decir $s \in A$ .
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