Puntos críticos y extremos de $f(x,y)=y^2-x^2+x^3+x^2y+\frac{y^3}{3}\;\;\forall\;(x,y)\in\Bbb{R}^2$

Question

Dejemos que $f:\Bbb{R}^2\to \Bbb{R}$ sea una función definida por $$\begin{align}f(x,y)=y^2-x^2+x^3+x^2y+\frac{y^3}{3}\;\;\forall\;(x,y)\in\Bbb{R}^2\end{align}$$ $i.$ Calcule los puntos críticos de $f$

$ii.$ Hace $f$ ¿tiene un extremo?

Mi trabajo: $$\begin{align}\frac{\partial f}{\partial x}=-2x+3x^2+2xy\qquad (1)\end{align}$$ $$\begin{align}\frac{\partial f}{\partial y}=2y+x^2+y^2\qquad (2)\end{align}$$ En $$\begin{align}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=0\end{align}$$ tenemos $$\begin{align}x=\frac{1}{2}(3x^2+2xy)\end{align}$$ Substituting into $2$, we get $$\begin{align}0=y(8+12x^3)+y^2(4x^2+4)+9x^4\end{align}$$ $$\begin{align}y=\frac{-2-3 x^3\pm\sqrt{4+12 x^3-9 x^4}}{2 \left(1+x^2\right)}\end{align}$$

No sé a dónde ir desde aquí. ¿Puede alguien, por favor, ayudar?

Answer 1

$$\begin{align}\frac{\partial f}{\partial x}=-2x+3x^2+2xy\qquad (1)\end{align}$$ $$\begin{align}\frac{\partial f}{\partial y}=2y+x^2+y^2\qquad (2)\end{align}$$ En $$\begin{align}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=0\end{align}$$ tenemos que (1) implica $$\begin{align}x(3x+2y-2)=0\end{align}$$ Así que hay dos casos $x=0$ o ... continuar desde allí.