Si $f(0)=0$ y $f'$ es creciente, entonces $\frac{f(x)}{x}$ está aumentando.

Question

Problema : Supongamos que $f$ es continua para $x\ge 0$ diferenciable para $x>0$ , $f(0)=0$ y $f'$ es monótonamente creciente.

Definir $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ para $x>0$ . Demostrar que $g$ es monótonamente creciente.

Fuente : W. Rudin, Principios del análisis matemático Capítulo 5, ejercicio 6.

Answer 1

$${f(x)\over x}=\int_0^1 f'(t\, x)\ dt\qquad(x>0)\ .$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $g$ es diferenciable en todos los lugares en los que está definida. Fijar $x, y\in\mathbb{R}$ avec $y>x$ . Por el teorema del valor medio, para algunos $t\in(x,y)$ tenemos

$$\frac{g(y)-g(x)}{y-x} = g'(t)= \frac{tf'(t)-f(t)}{t^2}.$$

Porque $y-x$ es positivo, basta con demostrar que $$h(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$$ no es negativo. Esto se reduce a demostrar que

$$f'(x)\ge \frac{f(x)}{x}$$

para $x>0$ .

Consideremos el teorema del valor medio aplicado a $[0,x]$ Para algunos $t\in(0,x)$ ,

$$\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(t),$$

y el resultado se deduce porque $f(0)=0$ y $f'$ es monótonamente creciente.

Answer 3

Por supuesto, $f$ es una función convexa. Entonces $$g(x)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$ debe ser creciente en $x$ por una propiedad estándar de las funciones convexas de una variable.

Answer 4

La condición de que $f'$ es creciente implica que $f$ es convexo. Geométricamente, la afirmación a demostrar es que para $0 < x < y$ la pendiente de la cuerda de $(0,0)$ a $(x,f(x))$ es menor o igual que la pendiente de la cuerda de $(0,0)$ a $(y,f(y))$ . Por lo tanto, esperamos esperamos utilizar la definición de convexidad para los tres puntos $0,x$ y $y$ : $$f({1 -x \over y}0 + {x \over y}y) \leq {1 -x \over y}f(0) + {x \over y}f(y)$$ Desde $f(0) = 0$ Esto es lo mismo que $$f(x) \leq {x \over y} f(y)$$ Esto, a su vez, es lo mismo que $${f(x) \over x} \leq {f(y) \over y}$$