dimensión de la matriz hermitiana del subespacio

Question

Dejemos que $T\in H(m+1;\mathbb{R})$ sea una matriz simétrica, s.t. $T^2=T$ y $tr(T)=1$ .

Ahora dejemos que $U:=\{ S\in H(m+1;\mathbb{R}): TS+ST=S\}$ sea un subconjunto del espacio vectorial de todas las matrices hermitianas.

Quiero demostrar que la dimensión de U es $m$ . Para algunos T especiales (con muchos ceros) podría mostrar esto. Pero no tengo ni idea, ¿cómo mostrar esto para un T general fijo?

¿Tienes una idea?

Answer 1

Una forma fácil de hacerlo es diagonalizar $T$ en una base ortonormal y utilizar la multiplicación matricial en bloque.

La proyección $T=T^2$ es diagonalizable en una base ortonormal Como su traza es $1$ , puede encontrar $P$ invertible y simétrica (unitaria, en realidad) tal que: $$P^{-1}TP=T_0=\left( \matrix{1 & 0\\ 0& 0}\right),$$ donde la parte inferior derecha $0$ es la matriz cuadrada nula de tamaño $m$ .

Nótese que el isomorfismo $X\longmapsto P^{-1}XP$ transforma $U$ en: $$U_0=\{S\in H(m+1;\mathbb{R})\;:\; T_0S+ST_0=S\}.$$ Así que $\dim U=\dim U_0$ .

Ahora escriba un general $S\in H(m+1;\mathbb{R})$ $$S=\left( \matrix{ a & b\\ b^t & d }\right)$$ donde $b\in \mathbb{R}^m$ , $b^t$ es su transposición, y $d$ está en $H(m,\mathbb{R})$ .

Ahora calcula por bloques $$T_0S+ST_0=\left(\matrix{2a & b \\ b^t & 0}\right).$$ Equiparación con $S$ rinde $a=0$ y $d=0$ .

Así que claramente $U_0$ es isomorfo a $\mathbb{R}^m$ ya que tal $S$ está determinada por el vector $b$ .

Por lo tanto, $\dim U=\dim U_0=m$ .