$\tan(x) = x$. Encontrar los valores de $x$

Question

¿Cómo puedo encontrar los posibles valores de $x$ para:

$\tan(x)=x$

matemáticamente?

Answer 1

No hay ninguna forma cerrada para las soluciones de $ \tan(x) = x $, pero permítanme un par de datos interesantes. Deje $ (\lambda_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ ser la secuencia de las listas de las soluciones positivas de $ \tan(x) = x $, en orden creciente. Entonces

• $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_{n}} = \infty $.

• $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_{n}^{2}} = \frac{1}{10} $.

Answer 2

Me dio una charla sobre esta ecuación en abril de 2006 y (un .versión en pdf de) el Látex de diapositivas que se utiliza puede ser de interés para usted.

Véase también el de matemáticas StackExchange pregunta Derivación de asintótico de la solución de $\tan (x)=x$. Finalmente, consulte las entradas en este enero de 2006 de la lesión.matemáticas tema: con Respecto a tan(x) = x.

Answer 3

$$\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=x$$ $$\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}...$$ $$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}...$$ Su pregunta es equivalente a resolver la ecuación

$$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots=x-\frac{x^3}{2!}+\frac{x^5}{4!}-\cdots$$ $$x^3\left(\frac{1}{3!}-\frac{1}{2!}\right)-x^5\left(\frac{1}{5!}-\frac{1}{4!}\right)+x^7\left(\frac{1}{7!}-\frac{1}{6!}\right)+\cdots=0$$ Evidentemente dando $$x=0$$

Las soluciones están dadas por la ecuación $$\left(\frac{1}{3!}-\frac{1}{2!}\right)-x^2\left(\frac{1}{5!}-\frac{1}{4!}\right)+x^4\left(\frac{1}{7!}-\frac{1}{6!}\right)-\cdots=0$$

Pero no sé si hay una manera de que a una forma cerrada.