La integración por sustitución y por fracciones parciales conduce a resultados diferentes

Question

Al integrar $\int \frac{3x-2}{x+1}dx$ podemos tomar dos caminos.

$\alpha)$ Dejemos que $u=x+1$ Así que

$$\int \frac{3x-2}{x+1}dx = \int \frac{3u-5}{u}du = 3u- 5\ln|u|=3(x+1)-5\ln|x+1|$$

$\beta)$ Ver que $3x-2=3(x+1)-5 \implies \frac{3x-2}{x+1}=3-\frac{5}{x+1}$ . Entonces $$\int \frac{3x-2}{x+1}dx=\int (3-\frac{5}{x+1})dx = 3x-5\ln|x+1|$$

Evidentemente, los dos resultados son muy similares. Sólo se diferencian en que $x \neq x+1$ . Por supuesto que debo estar cometiendo un error en alguno de los planteamientos (o en ambos), pero no consigo encontrar dónde está el error. ¿Alguien puede indicármelo? Gracias de antemano.

Answer 1

Ambos son correctos, porque se olvida el $+C$ parte.

$$\begin{align}\int \frac{3x-2}{x+1}dx&=3(x+1)-5\ln|x+1|+C_1\\ \\ \int \frac{3x-2}{x+1}dx&=3x-5\ln|x+1|+C_2\end{align}$$

Desde $C_1$ y $C_2$ son constantes arbitrarias, si se define $C_2=3+C_1$ son lo mismo.