definición de la transformada de Fourier de una función en la esfera

Question

Dejemos que $f: S^{n-1}\longrightarrow R^n$ sea una función continua uniforme.

¿Cuál es la transformada de Fourier de $f$ ?

Answer 1

Una forma de definir la transformada de Fourier sobre la $n-$ esfera dimensional, es definirla sobre $\mathbb{R}^{n-1}$ y utilizar la transformada de Cayley para asignar el operador a $\mathbb{S}^{n-1}$ . Si hacemos esto entonces definimos la transformada de Fourier $\mathcal{F}$ de un $L^2-$ integrable $f$ en $\mathbb{S}^{n-1}$ con respecto al álgebra de Clifford $A_n$ como

\begin{equation*} \mathcal{F}_{\mathbb{S}^{n-1}}(f)(u)=\int_{\mathbb{S}^{n-1}}H_{\mathbb{S}^{n-1}}(x,u)f(x)d\sigma(x) \end{equation*} donde \begin{equation*} H_{\mathbb{S}^{n-1}}=c(n)J(\psi,u)e^{-i\langle \psi(x),\psi(u)\rangle}\overline{J}(\psi,x). \end{equation*} Aquí, $d\sigma$ es la medida respectiva, $c(n)$ es una constante de normalización, y $\psi$ es la inversa de la transformación de Cayley.

Nota: Cuando hacemos cualquier tipo de análisis armónico sobre la esfera, necesitamos introducir armónicos esféricos.