Evalúa el límite dado: $\lim_{x\to 0} \frac {x.\tan (2x) - 2x.\tan (x)}{(1-\cos (2x))^2}$

Question

Evaluar el límite dado $$\lim_{x\to 0} \frac {x.\tan (2x) - 2x.\tan (x)}{(1-\cos (2x))^2}$$

Mi intento : $$=\lim_{x\to 0} \frac {x.\tan (2x) - 2x.\tan (x)}{(1-\cos (2x))^2}$$ $$=\lim_{x\to 0} \dfrac {x(\tan (2x)-2\tan (x))}{1-2\cos (2x)+\cos^2 (2x)}$$

Answer 1

Con equivalentes Hay menos cálculos:

Primero hay que reescribir la expresión como $\;\dfrac{x(\tan 2x-2\tan x)}{(1-\cos 2x)^2}$ .

Ahora,

• es estándar que $\;1-\cos u\sim_0\dfrac{u^2}2$ Así que $\;(1-\cos 2x)^2\sim_0(2x)^2 $ .
• La fórmula de Taylor a la orden $3$ para la tangente es $\;\tan u=u+\dfrac{u^3}3+o(u^3)$ Así que $$\tan 2x-2\tan x=2x+\frac{8x^3}3 -\Bigl(2x+\frac{2x^3}3\Bigr)+o(x^3)=2x^3+o(x^3)\sim_0 2x^3, $$ y eventualmente $$\dfrac{x(\tan 2x-2\tan x)}{(1-\cos 2x)^2}\sim_0\frac{2x^4}{4x^4}=\frac12.$$

Answer 2

Utilizando $$\tan (2x) = \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$$

Así que $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\tan (2x)-2x\tan x}{(1-\cos 2x)^2} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x\tan x\cdot \tan^2 x}{4\sin^4 x(1-\tan^2 x)}$$

Así que el uso de $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x} = 1$

Así que tenemos $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\tan (2x)-2x\tan x}{(1-\cos 2x)^2} = \frac{1}{2}.$$

Answer 3

Yo lo resolvería utilizando la serie de Maclaurin (serie de Taylor en 0). Sé que esto no es una respuesta, lo habría escrito como un comentario, pero no tengo suficiente reputación