Una demostración del lema de Poincaré con regularidad óptima para Hölder (de orden no entero) y (de orden no negativo) $L^p$ , $2\leq p<\infty$ ) de las formas de Sobolev lo proporciona el teorema 8.3, pp. 148-149 del libro de G. Csató, B. Dacorogna y O. Kneuss, "The Pullback Equation for Differential Forms" (Birkhäuser, 2011). En él se dice que en el caso de Hölder ( $k\geq 0$ un número entero, $0<\alpha<1$ ) que la secuencia $$ 0\rightarrow\mathscr{C}^{k+n,\alpha}(U,\wedge^0(\mathbb{R}^n))\stackrel{d}{\rightarrow}\mathscr{C}^{k+n-1,\alpha}(U,\wedge^1(\mathbb{R}^n))\stackrel{d}{\rightarrow}\cdots\stackrel{d}{\rightarrow}\mathscr{C}^{k+1,\alpha}(U,\wedge^{n-1}(\mathbb{R}^n))\stackrel{d}{\rightarrow}\mathscr{C}^{k,\alpha}(U,\wedge^n(\mathbb{R}^n))\rightarrow 0 $$ es exacta para cualquier $U\subset\mathbb{R}^n$ abierto, acotado y contraíble con frontera suave (digamos, una bola abierta). El argumento es, en realidad, bastante similar al esbozado por Igor en su respuesta (es decir, utiliza una versión aguda del teorema de descomposición de Hodge), con el cuidado adecuado para la ganancia de regularidad en los espacios de funciones mencionados. Parece que también es posible proporcionar una prueba siguiendo líneas más clásicas; el libro cita la tesis doctoral del primer autor para ello, pero todavía no he tenido acceso a la tesis para comprobarlo.
La secuencia realizada por el primero dos $d$ flechas incluso resulta ser exacta para $\alpha=0,1$ con la convención de que $\mathscr{C}^{k,0}(U,\wedge^p(\mathbb{R}^n))=\mathscr{C}^k_b(\overline{U},\wedge^p(\mathbb{R}^n))$ invocando en su lugar el Corolario 8.6, pp. 149-150 del mismo libro. De lo anterior se puede derivar la exactitud de la secuencia $$ 0\rightarrow\mathscr{C}^{k+n,\alpha}_{loc}(\mathbb{R}^n,\wedge^0(\mathbb{R}^n))\stackrel{d}{\rightarrow}\mathscr{C}^{k+n-1,\alpha}_{loc}(\mathbb{R}^n,\wedge^1(\mathbb{R}^n))\stackrel{d}{\rightarrow}\cdots\stackrel{d}{\rightarrow}\mathscr{C}^{k+1,\alpha}_{loc}(\mathbb{R}^n,\wedge^{n-1}(\mathbb{R}^n))\stackrel{d}{\rightarrow}\mathscr{C}^{k,\alpha}_{loc}(\mathbb{R}^n,\wedge^n(\mathbb{R}^n))\rightarrow 0 $$ si se utiliza un agotamiento de $\mathbb{R}^n$ por (digamos) bolas cerradas centradas en el origen, ya que el Teorema 8.3 garantiza que para todo cerrado $\eta\in\mathscr{C}^{k,\alpha}(U,\wedge^r(\mathbb{R}^n))$ hay $\omega\in\mathscr{C}^{k+1,\alpha}(U,\wedge^{r-1}(\mathbb{R}^n))$ y una constante $C_{k,\alpha,U}>0$ tal que $$d\omega=\eta\quad\text{with}\quad\|\omega\|_{\mathscr{C}^{k+1,\alpha}(U,\wedge^{r-1}(\mathbb{R}^n))}\leq C_{k,\alpha,U}\|\eta\|_{\mathscr{C}^{k,\alpha}(U,\wedge^{r}(\mathbb{R}^n))}$$ para todos $r=1,\ldots,n$ , $U$ como en el caso anterior. Incluso se puede tener $\eta,\omega$ como en el caso anterior con $\alpha=0,1$ si $r=1$ Así que la exactitud de los dos primeros $d$ flechas de la segunda frase también es válida con $\alpha=0,1$ a pesar del resultado negativo sobre la existencia de $\mathscr{C}^2$ soluciones de $\Delta u=f$ con un continuo $f$ en mi comentario. El libro no menciona la posibilidad de obtener exactitud para toda la primera secuencia con $\alpha=0,1$ pero una inspección de la prueba del Corolario 8.6 muestra que sólo se necesita el Teorema 8.3 en el $L^p$ Caso de Sobolev con $p>n$ suficientemente grande junto con la desigualdad de Morrey para elevar las derivadas débiles a derivadas clásicas. Por lo tanto, no veo realmente un obstáculo para tener la exactitud de las secuencias completas anteriores con $\alpha=0$ - si entiendo bien el argumento, sólo se necesita una versión adecuada de la desigualdad de Morrey para las funciones vectoriales.
