Supremio del conjunto dado

Question

Dejemos que $p$ sea un número primo y un conjunto $A = \left\{-\dfrac{m} {n} - p \dfrac{n} {m} : m, n \in \mathbb{N} \right\}$ Evaluar $\sup (A)$ .

Mi intento:

$\displaystyle \sup (A)=-\inf({m\over n}+{{pn}\over m}) \\ =-\inf_{{t\in {\bf Q}^+}} (t+{p\over t})=-2\sqrt{p}$

Tengo un problema en $p$ . Pensando que es irrelevante ser un número primo, pero debería ser $p > 0$ .

¿Está bien mi enfoque?

Answer 1

Su respuesta está bien. Hay una secuencia de Q, digamos (an), que se acerca a p^(1/2). entonces A = {x = an + p/an} tiene: inf(A) = 2 * p^(1/2), debido a la continuidad de la función f(x) = x + p/x.