Encontrar la dimensión de un espacio vectorial $V$

Question

Dejemos que $E = \{1, 2,.....,n\}$ , donde $n$ es un número entero positivo impar. Sea $V$ sea el espacio vectorial de todas las funciones de $E$ a $\mathbb{R^3}$ donde las operaciones del espacio vectorial vienen dadas por

$$(f+g)(k)=f(k)+g(k); f, g \in V; k \in E$$ $$ (\lambda f)(k)= \lambda f(k);f\in V; k \in E$$

Encuentre la dimensión de $V$

En primer lugar, sé que el espacio vectorial $V$ es finito ya que el número de funciones de un conjunto finito $E$ para establecer $\mathbb{R^3}$ es finito. Y bajo la operación dada anteriormente, he demostrado que $V$ es un espacio vectorial. Pero no tengo ni idea de averiguar la dimensión de $V$ . ¿Debo construir una transformación lineal de V a algún otro espacio vectorial, y luego utilizar el teorema de la nulidad del rango para encontrar la dimensión de $V$ . Sugiere cualquier ayuda.

Answer 1

Podríamos hacer esto por sólo $\mathbb{R}^3$ pero también podríamos generalizarlo a $\mathbb{R}^m$ .

Dejemos que $\{e_1,e_2,\dots,e_m\}$ sea una base de $\mathbb{R}^m$ . Definir $\varphi_{i,j} : E \to \mathbb{R}^m$ avec $1\leq i\leq n$ y $1\leq j\leq m$ por $\varphi_{i,j}(k) = \delta_{ik}e_j$ (donde $\delta_{ij}$ es el Delta de Kronecker ).

El conjunto de todos estos $\varphi_{i,j}$ (que llamaremos $B$ ) abarca $(\mathbb{R}^m)^E$ porque si $$\varphi(k) = \sum_{j=1}^m\lambda_{k,j}e_j$$ para cada $k\in E$ y algunos escalares $\lambda$ entonces $$ \varphi=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\lambda_{i,j}\varphi_{i,j} $$ Para ver esto, observe que $$ \begin{align*} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\lambda_{i,j}\varphi_{i,j}(k) &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\lambda_{i,j}\delta_{ik}e_j \\ &= \sum_{j=1}^m\lambda_{k,j}e_j \\ &= \varphi(k) \end{align*} $$ Ahora, para demostrar que $B$ es linealmente independiente, nótese que cada $\varphi_{i,j}$ envía cada $i \in E$ a $e_j$ . Si alguna combinación lineal de $B$ es la función cero, eso implicaría que alguna combinación lineal de $e_j$ (¡con los mismos escalares correspondientes!) debe ser cero, lo que significa que los escalares deben ser cero. Por lo tanto, $B$ es una base de $(\mathbb{R}^m)^E$ y $\dim (\mathbb{R}^m)^E = mn$ .