$\sec\theta+\tan\theta=p$ $\sec\theta\tan\theta=q$ . Eliminar $\theta$ para formar una ecuación entre el$p$$q$.

Question

$\sec\theta+\tan\theta=p$ $\sec\theta\tan\theta=q$ . Eliminar $\theta$ para formar una ecuación entre el$p$$q$.

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$\sec\theta+\tan\theta=p$
$(\sec\theta+\tan\theta)^2=p^2$
$\sec^2\theta+\tan^2\theta+2\tan\theta\sec\theta=p^2$
$\sec^2\theta+\tan^2\theta+2q=p^2$
$1+2\tan^2\theta+2q=p^2$

Estoy atrapado aquí. Por favor me ayude. Gracias.

Answer 1

Observe que

$$p^2-4q=(\sec\theta-\tan\theta)^2\;.$$

Ahora $p^2=(\sec\theta+\tan\theta)^2$, por lo que

$$p^2(p^2-4q)=(\sec\theta+\tan\theta)^2(\sec\theta-\tan\theta)^2=(\sec^2\theta-\tan^2\theta)^2=1\;.$$

Probablemente esto se parece un poco como por arte de magia. De hecho, me notó por primera vez que el $p^2-2q=\sec^2\theta+\tan^2\theta$. Por desgracia, que no parecen ir a ninguna parte. Entonces me di cuenta de que restando otro $2q$ todavía me da algo bastante bueno, y el resto cayó en su lugar.

Answer 2

Aviso, tenemos $$\sec\theta+\tan\theta=p\tag 1$$ $$\sec\theta\tan\theta=q\tag 2$$

$$(\sec\theta-\tan\theta)^2=(\sec\theta+\tan\theta)^2-4\sec\theta\tan\theta$$ $$(\sec\theta-\tan\theta)^2=p^2-4q$$ $$\sec\theta-\tan\theta=\sqrt{p^2-4q}\tag 3$$ la adición de (1) & (3), $$2\sec\theta=p+\sqrt{p^2-4q}\tag 4$$ y restando (3)de (1), $$2\tan\theta=p-\sqrt{p^2-4q}\tag 5$$ Ahora, el cuadrado y restando (5) en (4), uno debe tener $$4\sec^2\theta-4\tan^2\theta=\left(p+\sqrt{p^2-4q}\right)^2-\left(p-\sqrt{p^2-4q}\right)^2$$ $$4(\sec^2\theta-\tan^2\theta)=\left(p+\sqrt{p^2-4q}+p-\sqrt{p^2-4q}\right)\left(p+\sqrt{p^2-4q}-p+\sqrt{p^2-4q}\right)$$

$$4(1)=\left(2p\right)\left(2\sqrt{p^2-4q}\right)$$ $$p\sqrt{p^2-4q}=1$$ $$\color{red}{p^2(p^2-4q)=1}$$

Answer 3

$$\sec\theta+\tan\theta=p\iff\sec\theta-\tan\theta=\dfrac1p$$

Ahora $(\sec\theta+\tan\theta)^2-(\sec\theta-\tan\theta)^2=4\sec\theta\tan\theta$

Reemplazar los valores de $\sec\theta+\tan\theta,\sec\theta-\tan\theta, \sec\theta\tan\theta$

Answer 4

Ahora, $\sec^2\theta \tan^2\theta=q^2$.

Por eso, $(1+\tan^2\theta)\tan^2\theta=q^2$.

Usted tiene que $1+2\tan^2\theta+2q=p^2$.

Por eso, $\tan^2\theta=\frac{p^2-1-2q}{2}$.

Ahora conecte esta $\tan^2\theta$ en la ecuación que se obtuvo antes.