Verdad de la fórmula de suma de Poisson

Question

La suma de Poisson dice, a grandes rasgos, que la suma de un suave $L^1$ -de una variable real en puntos integrales es lo mismo que sumar su transformada de Fourier en puntos integrales (después de una normalización adecuada). Aquí es el enlace de la wikipedia.

Durante muchos años me he preguntado por qué esta fórmula es cierta. He visto más de una prueba, he visto el esquema general, y estoy seguro de que podría entender cada paso si lo repasara cuidadosamente. Pero aún así no me diría nada sobre por qué demonios tal cosa debería ser cierta.

Pero esta fórmula es sumamente importante en la teoría analítica de los números. Por ejemplo, en el libro de Iwaniec y Kowalski, es alabada hasta los cielos. Así que me pregunto cuál es la razón por la que tal resultado debe ser cierto.

Answer 1

En lo que sigue, utilizaré la convención $$ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-2\pi i x \xi}dx,$$ para que $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)e^{2\pi i x \xi}d\xi.$$

Me gusta la siguiente interpretación de la suma de Poisson, que también da una generalización: Consideremos la distribución en peine de Dirac $C(x) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} \delta(x-n)$ . Esta es una distribución templada, por lo que tiene una transformada de Fourier. De hecho, es su propia transformada de Fourier. Para justificar esto, voy a dar un argumento muy poco riguroso. Pero si la intuición es el objetivo principal, entonces creo que ayudará. En primer lugar, hay que tener en cuenta que $C(x)$ es periódica con periodo 1. Así, su "transformada de Fourier" es en realidad una serie de Fourier: su soporte está en $\mathbb{Z}$ . Esto se deduce al observar que

$$\begin{align}C(x) &= \int_{-\infty}^{\infty} \hat{C}(\xi)e^{2\pi i x \xi}d\xi; \\ C(x) &= \sum_{n\in \mathbb{Z}}a_n e^{2\pi i n x}; \end{align}$$

Donde la primera línea es la fórmula de inversión de Fourier y la segunda línea es la serie de Fourier para $C$ . Por la singularidad se deduce que $\hat{C}(\xi) = \sum_{n\in \mathbb{Z}}a_n \delta(\xi - n)$ . Por otro lado, la transformada de Fourier (inversa) de $\hat{C}$ también es compatible con $\mathbb{Z}$ Así que $\hat{C}$ también es periódica con periodo 1. Por lo tanto, todos los $a_n$ son los mismos:

$$\hat{C}(\xi) = a\sum_{n\in \mathbb{Z}}\delta(\xi - n),$$ donde $a$ es algún escalar. No es difícil ver que el escalar tiene que ser 1.

Para derivar la suma de Poisson de esto, utilice el teorema de convolución: sea $f$ sea una función cualquiera. Por un lado, $$(f*C)(x) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} f(x+n).$$ Por otro lado, podemos utilizar el teorema de la convolución: $$\widehat{(f*C)}(\xi) = \hat{f}(\xi)\hat{C}(\xi) = \hat{f}(\xi)\sum_{n\in \mathbb{Z}} \delta(\xi-n) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} \hat{f}(n)\delta(\xi-n).$$ La última suma da la serie de Fourier de la función periódica $f*C$ : $$(f*C)(x) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} \hat{f}(n)e^{2\pi i n x}.$$ Enchufar $x=0$ da la fórmula de suma de Poisson, QED. Pero el resultado para el general $x$ también es interesante: dada una función $f$ se puede obtener una función periódica $g(x)$ mediante (a) la suma de $f(x+n)$ sobre todos los enteros $n$ o (b) tomando la transformada de Fourier de $f$ a frecuencias enteras y haciendo que la serie de Fourier de $g$ . El resultado es que (a) y (b) dan la misma función.

Answer 2

Es un caso especial de la fórmula de la traza. Ambos lados son la traza del mismo operador.

Answer 3

Una variante del argumento de @Darsh Ranjan: como $u=\sum_{n\in\mathbb Z}\delta(x-n)$ es invariante bajo traslación por $\mathbb Z$ y se aniquila al multiplicar por $e^{2\pi inx}-1$ para todos $n\in \mathbb Z$ (¡esto capta el aspecto de orden cero!) basta con demostrar que existe una distribución única (hasta múltiplos escalares) que cumple estas condiciones, y que la transformada de Fourier de $u$ también los cumple. Esto último es inmediato, ya que la transformada de Fourier intercambia las dos condiciones.

Para la unicidad: aniquilación por multiplicación por $e^{2\pi ix}-1$ implica que el soporte es $\mathbb Z$ . Conocemos la clasificación de las distribuciones soportadas en puntos, por tanto, soportadas en un subconjunto cerrado discreto: Deltas y derivadas de Dirac. Utilizando cortes suaves para examinar el comportamiento en un número entero dado, ya que $e^{2\pi ix}-1$ se desvanece sólo para pedir $1$ El orden de la $n$ -el componente número uno es $0$ . Por lo tanto, dicha distribución es de la forma $\sum_n c_n\cdot \delta(x-n)$ . La invariabilidad de la traslación implica que todos los coeficientes son iguales.

Answer 4

La fórmula de Poisson no es más que la descomposición en series de Fourier de la medida de Dirac sobre el círculo.

Sucede que la teoría de las distribuciones en el círculo es mucho más sencilla que la de la recta real, ya que todo está compactamente soportado. En su libro, Laurent Schwartz comienza el capítulo sobre la transformada de Fourier con el círculo y muestra que toda distribución tiene una serie de Fourier convergente (VII.1.3 "theorie des distributions"). Además, el espacio de las distribuciones es la unión de todos los espacios de Sobolev negativos y estos espacios se pueden caracterizar en términos de decaimiento de los coeficientes de Fourier. Creo que el Dirac está en $H^{-1}$ . En cualquier caso, la fórmula habitual se mantiene y tenemos

$$ \delta_0(x) = \sum_n \langle \delta_0, e^{inx} \rangle e^{inx} = {1\over 2\pi}\sum_n e^{inx}, \quad x\in {\bf R}/{\bf Z}. $$ Nótese que con esta elección de normalización, el producto escalar es ${1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\overline{g(x)} \,dx$ para que el $e^{inx}$ son vectores unitarios, con lo que se obtiene el ${1\over 2\pi}$ en el lado derecho.

Ahora componemos esto con la proyección $\pi : {\bf R} \rightarrow {\bf R} /2\pi{\bf Z}$ para obtener la fórmula de Poisson en ${\bf R}$ . Hay que ser un poco cauteloso porque aunque siempre podemos componer una función con otra en cuanto los dominios coinciden, no es cierto que la composición sea siempre posible para las distribuciones.

En nuestro caso particular, la medida de Dirac es el límite de una identidad aproximada, por lo que es fácil adivinar lo que ocurre simplemente componiendo la identidad aproximada y pasando al límite. Sin sorpresa, el pullback de la medida de Dirac en $\{0\}$ viene dada por la medida de Dirac en el pullback de $\{0\}$ que no es más que la suma de todas las medidas de Dirac en los puntos $2\pi{\bf Z}$ .

$$ \sum_{n\in {\bf Z}} \delta_{2\pi n}(x) = {1\over 2\pi} \sum_{n\in {\bf Z}} e^{inx}, \quad x\in {\bf R}. $$ Podemos evaluar esto contra una función en el espacio de Schwartz o utilizar una convolución para obtener la fórmula original de Poisson. Y obtenemos la $2\pi$ en los lugares correctos sin siquiera pensarlo. Así que esa es la verdad.