Encontrar una extensión de Galois

Question

Mi pregunta es parte de un problema mayor: se supone que debo encontrar el polinomio mínimo sobre $\mathbb{Q}$ de $1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ "utilizando los automorfismos de la correspondiente extensión de Galois".

Después de hablar con mi profesor, sé que el Galois grupo Lo que busco es $S_3$ . Sin embargo, no sé cómo determinar lo que el Galois extensión es con la información que me han dado.

Answer 1

Dejemos que $\alpha = \sqrt[3]{2}$ . Buscamos el polinomio mínimo de $1 + \alpha + \alpha^2$ . Para encontrar la extensión de Galois de $\mathbb{Q}$ que contiene $1 + \alpha + \alpha^2$ , tenga en cuenta que $1, \alpha, \alpha^2 \in \mathbb{Q}(\alpha)$ . Sin embargo, $\mathbb{Q}(\alpha)$ no es Galois sobre $\mathbb{Q}$ porque el polinomio $p(x) = x^3 - 2$ es irreducible en $\mathbb{Q}$ tiene una raíz en $\mathbb{Q}(\alpha)$ y no se divide en factores lineales en $\mathbb{Q}(\alpha)$ . Sin embargo, $\mathbb{Q}(\alpha) \subset \mathbb{Q}(\alpha, \omega)$ , donde $\omega = e^{2i\pi/3}$ . Además, $p(x)$ se divide en factores lineales en $\mathbb{Q}(\alpha, \omega)$ Así que $\mathbb{Q}(\alpha, \omega)$ es Galois sobre $\mathbb{Q}$ .

A continuación debemos encontrar el grupo de Galois de $\mathbb{Q}(\alpha, \omega)/\mathbb{Q}$ . Sabemos que $[\mathbb{Q}(\alpha, \omega): \mathbb{Q}] \leq 3! = 6$ . También sabemos que $[\mathbb{Q}(\alpha): \mathbb{Q}] = 3$ desde $p(x)$ es el polinomio mínimo sobre $\mathbb{Q}$ de $\alpha$ . Desde $[\mathbb{Q}(\alpha, \omega): \mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\alpha, \omega): \mathbb{Q}(\alpha)] \cdot [\mathbb{Q}(\alpha) : \mathbb{Q}]$ Debe ser que $3 < [\mathbb{Q}(\alpha, \omega): \mathbb{Q}] \leq 6$ y 3 divide $[\mathbb{Q}(\alpha, \omega): \mathbb{Q}]$ . Así que $[\mathbb{Q}(\alpha, \omega): \mathbb{Q}] = 6$ Por lo tanto $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\alpha, \omega)/\mathbb{Q})$ es isomorfo a $S_3$ . En particular, consideremos el conjunto de permutaciones en $S_3$ ese mapa $\alpha$ a las raíces de $p(x)$ . Si definimos $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \in S_3$ por \begin{align*} \sigma_1(\alpha) &= \alpha\\ \sigma_2(\alpha) &= \alpha \omega\\ \sigma_3(\alpha) &= \alpha \omega^2 \end{align*} entonces las imágenes bajo $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ de $1 + \alpha + \alpha^2$ son las raíces del polinomio mínimo de $1 + \alpha + \alpha^2$ . Tenemos \begin{align*} \sigma_1\left(1 + \alpha + \alpha^2\right) = 1 + \alpha + \alpha^2\\ \sigma_2\left(1 + \alpha + \alpha^2\right) = 1 + \alpha \omega + \alpha^2 \omega^2\\ \sigma_3\left(1 + \alpha + \alpha^2\right) = 1 + \alpha \omega^2 + \alpha^2 \omega^4 \end{align*} Así que el polinomio mínimo de $1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ es $$q(x) = \left(x - 1 - 2^{1/3} - 2^{2/3}\right)\left(x - 2^{1/3}e^{2i\pi/3} - 2^{2/3}e^{-2i\pi/3}\right)\left(x - 2^{1/3}e^{-2i\pi/3} - 2^{2/3}e^{2i\pi/3}\right).$$ Después de hacer una gran cantidad de álgebra, encontramos que $q(x) = x^3 - 3x^2 - 3x - 1$ .