Teorema del valor extremo utilizando la imagen continua de compacto es compacto + Heine Borel

Question

EVT: Deja $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ sea continua, entonces $f$ alcanza el máximo y el mínimo

Creo que es muy fácil demostrar usando imagen continua de compacto es compacto + Heine Borel pero estoy atascado en demostrar que el $\sup$ y $\inf$ son en realidad $\max$ y $\min$

Intento de prueba:

Desde $[a,b]$ es compacto, $f$ continua, por lo tanto $f([a,b])$ es compacto.

Por Heine Borel, $f([a,b])$ es cerrado y acotado. Por la acotación, $f([a,b]) \subseteq [-N,N], N \in \mathbb{R}_{+}$ .

Dejemos que $u := \sup f([a,b])$ entonces queremos demostrar que $u \in f([a,b])$

Supongo que si tuviera que continuar, sería algo así. Desde $u$ es el $\sup f([a,b])$ entonces existe $u_1 \in [u-\epsilon, u]$ para algunos $\epsilon >0$ Si no es así $u$ no es el supremum. Entonces podemos encontrar $u_2 \in [u_1-\epsilon, u]$ ...esto construye una secuencia de Cauchy. Como cualquier intervalo cerrado en $\mathbb{R}$ es completa, la secuencia de Cauchy converge. Como $f([a,b])$ está cerrado, y $u_1, u_2,\ldots$ converge a $u$ Por lo tanto $u \in f([a,b])$ .

¿Es esto correcto?

Nota: Me he dado cuenta de que lo anterior se basaría en la compacidad secuencial en lugar de la compacidad de cobertura. ¿Cuál es otra forma de demostrar esto que esté más orientada a la topología?

Answer 1

Dado que la imagen es compacta, el sumo (visto ahora como el sumo del conjunto de valores alcanzados de $f$ ) sí pertenece a la imagen (como conjunto). (Un conjunto compacto contiene su supremacía.) Pero ¿qué significa para un valor $y$ para estar en la imagen? Significa que hay un $x$ en el dominio tal que $f(x)=y$ .

Answer 2

Hay algunos errores con tu prueba, que mencioné en los comentarios. Aquí hay una prueba, siguiendo líneas similares a las tuyas (construyendo una secuencia convergente, etc.)

Poner $M=\sup\limits_{x\in[a,b]}f(x)$ . Hay una secuencia $\{x_n\}$ en $[a,b]$ con $$M\leq f(x_n)+\frac{1}{n},$$ Y así $f(x_n)\to M$ como $n\to\infty$ . Desde $[a,b]$ es compacto, existe una subsecuencia $\{x_{n_k}\}$ de $\{x_n\}$ convergente a algún $x_0\in[a,b]$ y la continuidad de $f$ garantiza que $f(x_{n_k})\to f(x_0)$ como $k\to\infty$ . Pero $f(x_n)$ es convergente, por lo que $f(x_{n_k})$ deben converger al mismo valor, y por lo tanto $f(x_0)=M$ .

La prueba correspondiente para $\inf$ se deduce aplicando el argumento del procedimiento a $-f$ .