Me pregunto sobre la siguiente igualdad matricial $$ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 & \lambda_{1} \\ & 1 & \lambda_{2} \\ && \ddots & \ddots \\ &&& 1 & \lambda_{k} \\ &&&& 1 & 0 \\ &&&&& \ddots & \ddots \\ &&&&&& 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ \vdots \\ c_{k+1} \\ c_{k+2} \\ \vdots \\ c_{k+1 + \ell}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\0 \\ \vdots \\ 0 \\d_{1} \\ \vdots \\ d_{\ell}\\ \end{pmatrix}. $$ con $\lambda_{i} \neq 0$ para $1 \leq i \leq k$ . ¿Hay alguna manera de demostrar que esta ecuación tiene una solución para el $c_{i}$ y $d_{i}$ tal que $c_{1} \neq 0$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mi propia respuesta:
Dejemos que $c_{1} = 1$ entonces la ecuación se puede reescribir como
$$ \left( \begin{array}{ccccc|cc} \lambda_{1} &&&&&& \\ 1&\lambda_{2}&&&&& \\ &1&\lambda_{2} &&&& \\ && \ddots& \ddots & & & & \\ &&&1 & \lambda_{k} \\ \hline &&&& 1 & 0 \\ &&&&& \ddots & \ddots \\ &&&&&&1 & 0\end{array} \right) \begin{pmatrix} c_{2} \\ c_{3} \\ c_{4} \\ \vdots \\ c_{k+1} \\ \hline c_{k+2} \\ \vdots \\ c_{k+1+\ell} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \hline d_{1} \\ \vdots \\ d_{\ell} \end{pmatrix} $$ La matriz de la parte superior izquierda es invertible en la primera $k$ entradas. Como en la segunda parte todo es de libre elección, siempre hay una solución. Esto completa la prueba.
