¿Una prueba de la descomposición de Bruhat para GL_n(k)?

Question

En uno de mis exámenes del año pasado, nos dieron un problema (elegimos cinco o seis de ocho problemas) en un examen, cuyo objetivo era demostrar la descomposición de Bruhat para $GL_n(k)$ . Fui una de las dos personas que eligieron dicho problema. Di un argumento muy largo y enrevesado que, aunque correcto, era realmente poco elegante. Lo probé más de una vez porque no estaba satisfecho con mi prueba, y descubrí un argumento de contradicción algo hábil basado en la maximización de los ceros iniciales de las filas (número de ceros antes del pivote), pero la prueba seguía siendo un verdadero desastre.

Planteamiento del problema:

Dejemos que $G:=GL(V)$ para $V$ una dimensión finita $k$ espacio vectorial. Sea $B$ sea el estabilizador de la bandera estándar (serán matrices triangulares superiores invertibles), y sea $W$ sea el subgrupo de las matrices de permutación.

Demostrar que $G=\coprod_{w\in W} BwB$ , donde el $BwB$ son cosets dobles. Es decir, demostrar que $G=BWB$ .

Pregunta: ¿Existe alguna prueba de este hecho tal vez utilizando "más maquinaria"? En particular, ¿hay algún tipo de prueba "sin coordenadas" (¿podemos incluso definir los subgrupos de Borel y Weyl sin coordenadas?)?

Answer 1

Se pide calcular el doble cociente $B\backslash G /B.$ Esto es lo mismo que computar $G\backslash (G/B \times G/B)$ . Un punto en $G/B$ es una bandera completa en $k^n$ . Así que usted está tratando de calcular el conjunto de pares $(F_1,F_2)$ de banderas, modulando la acción simultánea de $G$ .

Otra forma de pensar en $G/B$ es que es el espacio de subgrupos de Borel (el coset de $g$ corresponde al conjugado $g B g^{-1}$ , donde $B$ es el triángulo superior de Borel que se fijó en el enunciado de la pregunta). El paso de las banderas a los Boreles viene dado por el mapeo $F$ a su estabilizador en $G$ .

Así que también puede pensar que está tratando de describir pares de Borels $(B_1,B_2)$ , módulo de conjugación simultánea por $G$ .

Ahora recordemos que un toroide $T$ en $G$ es un conjugado del subgrupo diagonal. Eligiendo un toro en $G$ es lo mismo que elegir una descomposición de $k^n$ como una suma directa de subespacios unidimensionales (o líneas, para abreviar). (Serán los distintos eigespacios del toro que actúan en $k^n$ .) El toro diagonal corresponde a la descomposición estándar de $k^n$ como $n$ copias de $k$ .

Ahora un toroide $T$ está contenido en un Borel $B$ (permítanme usar temporalmente $B$ a denotar cualquier Borel, no sólo el triangular superior) si y sólo si la correspondiente descomposición de $k^n$ en una suma de líneas es compatible con la bandera que $B$ fija, es decir, si la bandera se da tomando primero una línea, que la suma de esa con una segunda, luego la suma de esas dos con una tercera, y así sucesivamente. En particular, la elección de un toro $T$ contenida en un Borel $B$ determina una "descomposición etiquetada" de $k^n$ es decir, podemos escribir $k^n = L_1 \oplus \ldots \oplus L_n$ , donde $L_i$ es el $i$ de la línea; para que quede claro, el etiquetado se elige de manera que la bandera correspondiente sea sólo $L_1 \subset L_1\oplus L_2 \subset \cdots.$ (De nuevo, para ser completamente claros, si $T$ es el conjugado por $g \in G$ del toro diagonal, entonces $L_i$ es el traducir por $g$ de la línea atravesada por el $i$ vector de base estándar).

Obsérvese que esta descomposición etiquetada no sólo depende de $T$ (que sólo da una descomposición no etiquetada) sino en la de Borel $B$ que contiene $T$ también. (En un lenguaje más teórico de Lie, esto es un reflejo del hecho de que un toro determina una colección de pesos en cualquier representación de $G$ , mientras que la elección de un Borel que contenga el toro permite ordenar también los pesos determinando un conjunto de raíces positivas).

Por supuesto, $B$ contendrá más de un toro; o más geométricamente, $k^n$ admitirá más de una descomposición en líneas adaptadas a la filtración $F$ de los cuales $B$ es el estabilizador. Pero si uno piensa en las diferentes líneas, se ve que $L_1$ está determinada de forma única (debe ser el primer paso en la bandera), $L_2$ está determinada de forma única módulo $L_1$ (ya que junto con $L_1$ abarca el segundo escalón de la bandera), y así sucesivamente, lo que demuestra que dos tori cualesquiera $T$ en $B$ son necesariamente conjugados por un elemento de $B$ y el mismo tipo razonamiento muestra que el normalizador de $T$ en $B$ es sólo $T$ (porque si $g \in G$ va a conservar tanto la bandera como la colección de líneas, que es lo mismo que preservar la colección ordenada de líneas, todo lo que puede hacer es actuar por un escalar en cada línea, es decir, debe ser un elemento de $T$ ).

Ahora un hecho clave es que cualquier dos Borels, $B_1$ y $B_2$ contienen un toro común. En otras palabras, dadas dos filtraciones, siempre podemos elegir una descomposición (no ordenada) descomposición de $k^n$ en una suma directa de líneas que se adapta a ambos filtraciones. (Este es un ejercicio fácil.) Por supuesto, el orden de las líneas dependerá de cuál de las dos filtraciones utilicemos. En otras palabras, obtenemos un conjunto de $n$ líneas en $k^n$ que se ordenan en un sentido según la filtración $F_1$ dado por $B_1$ y en una segunda forma según la filtración dado $F_2$ por $B_2$ . Si dejamos que $w \in S_n$ sea la permutación que toma la primera a la segunda, entonces vemos que el par $B_1$ y $B_2$ determina un elemento $w \in S_n$ . Este es la descomposición de Bruhat.

No sería difícil continuar con este punto de vista para demostrar completamente la descomposición reclamada, pero será más fácil para mí (al menos notablemente) volver a cambiar a la $B\backslash G/B$ imagen.

Así, consideremos el coset $gB$ en $G/B$ que corresponde a la de Borel $g B g^{-1}$ . Permítanme utilizar una notación ligeramente no estándar, y escribir $D$ para el toro diagonal; por supuesto $D \subset B$ . También podemos encontrar un toroide $T \subset B \cap g B g^{-1}$ . Ahora hay un elemento $b \in B$ determinado módulo $D$ , de tal manera que $T = b D b^{-1}$ . (Esto se deduce de la discusión anterior sobre las propiedades de conjugación de los tori en subgrupos de Borel). También tenemos $g D g^{-1} \subset g B g^{-1}$ y existe $g b'g^{-1}\in g B g^{-1},$ bien definido modulo $g D g^{-1}$ , de tal manera que $T = (g b'g^{-1}) g D g^{-1} (g b' g^{-1})^{-1} = g b' D (b')^{-1} g^{-1}.$

Así, encontramos que $b^{-1} g b' \in N(D)/D$ y, por tanto, que $g \in B w B$ para algunos $w$ en el grupo de Weyl $N(D)/D$ . Tenga en cuenta que, dado que $b$ y $b'$ son bien definidos modulo $D$ el mapa de $T$ à $w$ está bien definida.

Por lo tanto, ciertamente $G$ es la unión de los $B w B$ . Si se tiene en cuenta lo que ya he escrito con atención, verás también que los diferentes cosets dobles son disjuntos. También podemos demostrarlo directamente de la siguiente manera: dado $B$ y $g B g^{-1}$ el mapa $T \mapsto w$ construido arriba es un mapa del conjunto de $T$ contenida en $B \cap g B g^{-1}$ al conjunto $N(D)/D$ . Ahora bien, dos de tales $T$ son de hecho conjugados por un elemento de $B \cap g B g^{-1}$ . Este último grupo está conectado, y por lo tanto el espacio de tales $T$ está conectado. (Estas afirmaciones son quizás más fáciles de ver pensando en términos de filtraciones y descomposiciones de $k^n$ en sumas de líneas, como en el caso anterior). Como $N(D)/D$ es discreto, vemos que $T \mapsto w$ debe de hecho ser constante, y por lo tanto $w$ está determinada únicamente por $g B g^{-1}$ solo. En otras palabras, los distintos cosets dobles $B w B$ son disjuntos.

La discusión anterior es un poco larga, ya que he tratado de explicar (en el casos especiales considerados) algunos hechos generales sobre la conjugación de los toros máximos en los grupos algebraicos, utilizando la traducción de los hechos de la teoría de grupos de grupos sobre $G$ , $B$ etc., en afirmaciones algebraicas lineales sobre $k^n$ .
Sin embargo, creo que esta es la prueba estándar de la descomposición de Bruhat, y explica por qué es cierta: la posición relativa de dos banderas está descrita por un elemento del grupo de Weyl.

Answer 2

Mi respuesta comienza igual que la respuesta de Emerton más arriba; quieres el $G$ -orbitas en $G/B\times G/B$ . Pero ahora, me desvío de Emerton para decir que $G/B$ es el espacio de las banderas completas $F_0\subset F_1\subset \dotsb F_n$ , donde $F_i$ es de dimensión $i$ . Nuestro problema es determinar el número de órbitas de pares de banderas bajo traslación simultánea en $G$ .

Supongamos que $F_\bullet$ y $F'_\bullet$ son dos de estas banderas, entonces se puede demostrar primero que las dimensiones $\dim(F_i\cap F'_j)$ determinar completamente la órbita del par; ya que si $E_\bullet$ y $E'_\bullet$ son otro par de banderas tales que $E_i\cap E'_j$ tiene la misma dimensión que $F_i\cap F'_j$ para todos $i$ y $j$ entonces es posible construir un elemento $g\in GL_n$ que lleva $F$ à $E$ y $F'$ à $E'$ (por ejemplo, eligiendo bases adecuadas).

Escribe $d_{ij}$ para $\dim E_i\cap E'_j$ . Sea $w_{ij}=d_{ij}-d_{i-1,j}-d_{i,j-1}+d_{i-1,j-1}$ . Se puede demostrar que $w_{ij}$ es una matriz de permutación y que la $d_{ij}$ se puede recuperar a partir de $w_{ij}$ (en realidad, $w_{ij}$ mantiene un registro de cuándo se produce el salto de $0$ à $1$ ocurre en la filtración de $E_i/E_{i-1}$ inducido por $E'_\bullet$ ). Además, toda matriz de permutación surge así, por ejemplo, del par $(E_\bullet, w\cdot E_\bullet)$ donde ahora pensamos en la matriz de permutación como un elemento de $GL_n$ .

Answer 3

Se puede demostrar la descomposición de Bruhat aplicando el teorema de Jordan-Hölder. Este teorema muestra que dos cadenas de submódulos de un módulo de longitud finita cuyos cocientes sucesivos son simples tienen las mismas longitudes, y que aparecen los mismos cocientes. Pero es un poco más preciso, porque da una receta precisa para una biyección entre las dos listas. Aquí la aplicamos para módulos de longitud finita sobre un campo, también conocidos como espacios vectoriales de dimensión finita.

Dejemos que $E=(e_1,\dots,e_n)$ y $F=(f_1,\dots,f_n)$ sean dos bases de un espacio vectorial $M$ sobre un campo $K$ .

Para $0\leq i\leq n$ , defina $M_i=\langle e_1,\dots,e_i\rangle$ y $N_i=\langle f_1,\dots,f_i\rangle$ . La demostración del teorema de Jordan-Hölder proporciona una permutación (única) $\sigma$ de $\{1,\dots,n\}$ tal que $M_{i-1}+M_i\cap N_{\sigma(i)-1}=M_{i-1}$ y $M_{i-1}+M_i\cap N_{\sigma(i)}=M_i$ , para cada $i\in\{1,\dots,n\}$ .

Para cualquier $i$ , dejemos que $x_i$ sea un vector perteneciente a $M_{i}\cap N_{\sigma(i)}$ pero no a $M_{i-1}$ . Para cada $i$ , uno tiene $\langle x_1,\dots,x_i\rangle =M_i$ ; se deduce que $X=(x_1,\dots,x_n)$ es una base de $M$ ; además, existe una matriz $B_1$ en forma de triángulo superior, tal que $X=E B_1$ .

Set $\tau=\sigma^{-1}$ . Del mismo modo, se tiene $\langle x_{\tau(1)},\dots,x_{\tau(i)}\rangle=N_i$ por cada $i$ . En consecuencia, existe una matriz $B_2$ , siempre en forma triangular superior, tal que $(x_{\tau(1)},\dots,x_{\tau(n)})=F B_2$ .

Dejemos que $P_\tau$ sea la matriz de permutación asociada a $\tau$ , tenemos $(x_{\tau(1)},\dots,x_{\tau(n)})=(x_1,\dots,x_n)P_\tau$ . Esto implica que $FB_2=EB_1P_\tau$ Por lo tanto $F=E B_1 P_{\tau} B_2^{-1}$ . Por lo tanto, la matriz $A=B_1P_{\tau}P_2^{-1}$ que expresa las coordenadas de los vectores de $F$ en la base $E$ es el producto de una matriz triangular superior, una matriz de permutación y otra matriz triangular superior.

En el grupo $\mathop{\rm GL}(n,K)$ , dejemos que $B$ sea el subgrupo formado por de matrices triangulares superiores, y sea $W$ sea el subgrupo formado por las matrices de permutación. Hemos demostrado que $\mathop{\rm GL}(n,K)=BWB$ : se trata precisamente de la descomposición de Bruhat.

Answer 4

Aunque básicamente estoy de acuerdo con Kevin Buzzard en que esto es algo que hay que encontrar en un libro de texto y no en mathoverflow, voy a aprovechar la oportunidad para dar una descripción totalmente no estándar, inspirada en el comentario de Shizuo Zhang.

Dada una acción del grupo de círculos $S = {\mathbb G}m$ en una variedad suave $X$ con puntos fijos aislados $X^S$ podemos definir una descomposición Bialynicki-Birula $$X = \coprod_{f\in X^S} X_f, \qquad X_f := \{ x \in X : \lim_{z\to 0} S(z)\cdot x = f \}.$$ Parte del teorema de B-B es que cada $X_f$ es una copia del espacio afín.

Si $Y \subseteq X$ es $S$ -invariante, entonces $Y$ adquiere una descomposición similar, y $Y_f = X_f \cap Y$ para cada $f\in Y^S \subseteq X^S$ (muy fácil de probar).

Considere la incrustación $Y := GL_n/B = Flags(n) \to \prod_{k=1}^n Gr(k,n) \to \prod_{k=1}^n {\mathbb P}(Alt^k\ {\mathbb C}^n) =: X$ donde el segundo mapa está hecho de incrustaciones de Plucker, y tomar $S$ actuando sobre ${\mathbb C}^n$ por $z\mapsto diag(z,z^2,z^3,\ldots,z^n)$ , alias el $\check\rho$ coweight. Entonces sus puntos fijos en cada ${\mathbb P}(Alt^k\ {\mathbb C}^n)$ están indexados por $k$ -subconjuntos de elementos de $1\ldots n$ . Así que $X^S$ son listas de subconjuntos, y $Y^S$ son listas crecientes de subconjuntos, o equivalentemente permutaciones.

Ergo, existe una descomposición de $GL_n/B$ en espacios afines, indexados por permutaciones. (No es obvio a partir de esta descripción que sean los $B$ -órbitas, pero tal vez eso esté bien, ya que más espacios tienen estos $S$ -que tienen un número finito de $B$ -orbits).

Answer 5

Aquí hay una maquinaria estándar que generaliza este resultado, que es más combinatoria que las pruebas estándar de grupos reductores (pero da mucha menos comprensión que, por ejemplo, la explicación de Matt Emerton arriba).

Supongamos que $G$ actúa fuertemente de forma transitoria en un edificio grueso $\Delta$ . Sea $B$ sea el estabilizador de la cámara fundamental, $N$ el estabilizador del departamento fundamental, $T$ el subgrupo que fija el departamento fundamental, y $W$ el cociente $N/T$ . Entonces $(G,B,N)$ es un $BN$ -par, también llamado sistema Tits, para $G$ . En particular, se tiene la descomposición de Bruhat $G=\coprod_{w\in W}BwB$ y mucho más.

En este caso, toma $G$ para ser $GL(V)$ y tomar $\Delta$ para ser el complejo de banderas de los subespacios de $V$ . El estabilizador $B$ de la cámara fundamental son las matrices triangulares superiores. El estabilizador $N$ del departamento fundamental son las matrices monomiales; el subgrupo $T$ fijando el piso fundamental son las matrices diagonales; y el grupo de Weyl $W$ es el cociente $N/T$ que pueden identificarse con las matrices de permutación.

Puede encontrar todo lo anterior, incluidas las pruebas, en el capítulo V.2 de "Buildings" de Brown. Para el caso especial de $GL(V)$ También puedes consultar los ejercicios 7 y 8 del capítulo 2.4 de "Grupos y representaciones" de Alperin-Bell.