Cuál es el valor esperado de $X$ , $E(X)$ , si el pdf conjunto $f(x,y) = \frac{e^{-y}}{y} $ para los valores $0 < x < y,\ 0 < y < \infty$ ?

Question

¿Qué es? $E(X)$ si la PDF conjunta de $X$ y $Y$ es

$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{e^{-y}}{y}, &0 < x < y, \ 0 < y < \infty\\ 0, &\text{otherwise}. \end{cases}$$

$$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}x f_X(x)\,dx$$

$$f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dy = \int_0^\infty \frac{e^{-y}}{y} \,dy$$

Pero no estoy seguro de cómo calcular la integral para $f_X(x).$

Así que traté de calcular toda la integral doble $E(X).$

$$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}x f_X(x)\,dx =\int_{0}^{y}x\int_0^\infty \frac{e^{-y}}{y}\, dy .$$

Recuerdo que hay un truco para intercambiar los límites de la integración para que sea más fácil la integración, pero estoy confundido de cómo hacerlo.

Answer 1

Reescribamos la función de densidad de probabilidad (PDF) conjunta bajo la forma $$ f_{(X,Y)}(x,y) = \frac{e^{-y}}{y} \boldsymbol{1}_{0<x<y} \, . $$ Integrar con respecto a $y$ da el PDF $f_X$ de $X$ : $$ f_X(x) = \int_\mathbb{R} f_{(X,Y)}(x,y)\, dy = \boldsymbol{1}_{x>0}\int_{x}^{\infty} \frac{e^{-y}}{y}\, dy = -\text{Ei}(-x)\, \boldsymbol{1}_{x>0} \, , $$ donde $\text{Ei}$ es la función integral exponencial. El valor esperado de $X$ es $$ \mathbb{E}X = \int_\mathbb{R} x f_X(x)\, dx = \int_0^\infty -x \text{Ei}(-x)\, dx = \frac{1}{2}. $$ Este resultado se puede obtener integrando \begin{aligned} \mathbb{E}X = \int_{\mathbb{R}^2} x f_{(X,Y)}(x,y) \, dx\, dy &= \int_0^\infty \frac{e^{-y}}{y} \int_0^y x \, dx\, dy \\ &= \frac{1}{2}\int_0^\infty y e^{-y}\, dy\\ &= \frac{1}{2} \, . \end{aligned} Si la función es integrable en el dominio de integración, entonces no importa a lo largo de qué variable se realiza la integración primero (teorema de Fubini).