¿Es cierta esta definición relajada de grupo?

Question

Dejemos que $G$ sea un conjunto no vacío y que $*$ sea una operación algebraica binaria.

Sistema algebraico $<G, *>$ es un grupo si

1. $\forall a \in G, \forall b \in G, \forall c \in G: (a * b) * c = a * (b * c)$
2. $\exists e: \forall a \in G: e * a = a$
3. $\forall a \in G: \exists b \in G : a * b = e$

Como ve, sólo a la izquierda elemento de identidad y sólo a la derecha elemento inverso se incluyen en los axiomas.

Se supone que debo responder si esta definición relajada es la misma que la más común . Primero, traté de demostrar que la identidad izquierda implica la identidad derecha:

1. Desde $e * e = e$ entonces $e = e^{-1}$ .
2. $\forall a^{-1} \in G: a^{-1}*e = a^{-1} * e^{-1} = (e * a)^{-1} = (a)^{-1} = a^{-1}$ por lo que la identidad derecha existe y es igual a la identidad izquierda.

Preguntas:

1. ¿Estoy engañando en el punto $a^{-1} * e^{-1} = (e * a)^{-1}$ ?
2. ¿Es esta definición reducida de un grupo en absoluto equivalente a la más común ?

Answer 1

Es cierto que los axiomas de grupo pueden ser "debilitados" para incluir:

• asociatividad
• la existencia de un a la izquierda identidad para todos los elementos del grupo
• para cada elemento del grupo, existe un a la izquierda inversa.

Nótese que en esta definición debilitada necesitamos identidad izquierda, inversa izquierda . Del mismo modo, podemos sustituir las dos apariciones de a la izquierda arriba por a la derecha por lo que también es cierto que la asociatividad más identidad derecha, inversa derecha es suficiente. La cuestión es que necesitamos que los "lados" de operación de la identidad y de los inversos coincidan.

A partir de estos axiomas "debilitados", podemos demostrar que la identidad izquierda (derecha) es la identidad derecha (izquierda), y dado el elemento $b$ en $G$ tal que existe un elemento $a$ en $G$ tal que $a*b = e$ se puede demostrar que $b*a = e$ .

Answer 2

Como contraejemplo, considere $G = \{0, 1\}$ y definir $*$ por $$0 * 0 = 0 \\ 0 * 1 = 1 \\ 1 * 0 = 0 \\ 1 * 1 = 1$$

Demuestre que sus axiomas se mantienen; por otro lado $G$ no es un grupo porque, por ejemplo, no hay identidad.