Cómo determinar el número de parábolas tangentes a tres líneas dadas, o tangentes a dos líneas dadas en puntos específicos

Question

Hace poco me encontré con una pregunta que me hizo pensar en cómo podríamos determinar la unicidad de una parábola

Cuántas parábolas satisfacen las siguientes condiciones:

1. Tangente a $3$ líneas dadas (evidentemente no corrientes)
2. Tangente a $2$ líneas dadas (evidentemente no paralelas) en puntos específicos de las líneas; por ejemplo, tangente a $y=0$ en $(12, 0)$ y a $y+x=5$ en el punto $(4, 1)$

He oído en alguna parte que una parábola requiere $4$ grados de libertad, también agradecería una explicación en contexto a esta afirmación.

En este último caso, ¿cómo encontraríamos la ecuación de la parábola, si es que existe una única?

Answer 1

En el ${\Bbb P}^5$ de los coeficientes $(a:b:c:d:e:f)$ para la cónica $ax^2+bxy+cy^2+dxz+eyz+fz^2=0,$ pasar por un punto es una condición lineal; basta con especificar el punto digamos $(4:1:1)$ y la condición, sustituyendo el punto, es $16a+4b+c+4d+e+f=0.$

La condición para ser tangente a líneas dadas $a_i x+b_i y+c_i z=0$ es cada uno de grado dos. La cónica dual a través de digamos $0.2 x+0.7 y+1=0,$ es de nuevo sustituyendo el punto $(0.2:0.7:1)$ en el plano dual de líneas en el plano en la cónica dual de líneas tangentes a la cónica original: $25cf+9bf+(81af)/25-(25e^2)/4-(9de)/2+5be+(18ae)/5-(81d^2)/100-10cd-(9bd)/5=0.$

(La cónica dual viene dada por la matriz inversa (o más generalmente la matriz adjunta) de la matriz de la cónica original).

Ahora bien, una condición (lineal, cuadrática, etc.) suele recortar una dimensión. Piensa en una, dos, tres, cuatro y cinco ecuaciones lineales en cinco incógnitas. Por eso esperamos que cinco condiciones determinen un número finito de cónicas. Además, si observamos el hecho de que cinco condiciones lineales dan $1^5$ cónicas a través de cinco puntos podríamos esperar que el número fuera dado por Bezout de forma más general.

Siendo una parábola es una tangencia con la línea en el infinito $z=0,$ por lo que para las parábolas una condición de grado $2$ y se necesitan cuatro más para obtener un número finito. Y para las parábolas que pasan por cuatro puntos obtenemos $2\cdot 1^4$ lo cual es correcto.

Ahora hay una complicación que dejo para el final, por lo que no podemos confiar en los números de Bezout, como $6^5$ cónicas tangentes (para que una cónica sea tangente a una cónica es un grado $6$ condición sobre los coeficientes) a cinco cónicas en posición general; el número real, famoso, es $3264$ .

Para 2. Usando la aplicación geogebra en la respuesta en la pregunta enlazada en mi comentario a la pregunta obtengo $x^2-12xy+36y^2-24x-52y+144=0.$

Para 1. Hay una infinidad de parábolas tangentes a tres líneas. Pero elijo mostrar una forma de obtener la única parábola tangente a cuatro rectas dadas en posición general. Por ejemplo, si tomamos las cuatro líneas como $x X_i+y Y_i+1=0,$ donde $X_1=0.2,Y_1=0.7,X_2=2.5,Y_2=-0.9,X_3=2.8,Y_3=-5,X_4=5,Y_4=1.2,$ la cónica dual $afY^2-\frac14 d^2Y^2-bfXY+\frac12 deXY-aeY+\frac12 bdY+cfX^2-\frac12 e^2X^2+\frac12 beX-cdX+ac-\frac14 b^2=0$ (doble a $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ ) evaluado en $(X_i,Y_i)$ junto con la condición de ser una parábola $b^2-4ac=0$ ceder M2

T=QQ[a,b,c,d,e,f,MonomialOrder=>Lex]
J=ideal(25*c*f+9*b*f+(81*a*f)/25-(25*e^2)/4-(9*d*e)/2+5*b*e+(18*a*e)/5-(81*d^2)/100-10*c*d-(9*b*d)/5, (4*c*f)/25-(14*b*f)/25+(49*a*f)/25-e^2/25+(7*d*e)/25+(2*b*e)/5-(14*a*e)/5-(49*d^2)/100-(4*c*d)/5+(7*b*d)/5, (784*c*f)/25+56*b*f+100*a*f-(196*e^2)/25-28*d*e+(28*b*e)/5+20*a*e-25*d^2-(56*c*d)/5-10*b*d, 100*c*f-24*b*f+(144*a*f)/25-25*e^2+12*d*e+10*b*e-(24*a*e)/5-(36*d^2)/25-20*c*d+(12*b*d)/5,b^2-4*a*c)
gens gb J
primaryDecomposition radical J
toString oo -- {ideal(4*c*f-e^2,2*b*f-d*e,b*e-2*c*d,4*a*f-d^2,2*a*e-b*d,4*a*c-b^2), 
ideal(98051402514954215*e+85617834771997822*f,
      19610280502990843*d-49279136609744940*f,
      490257012574771075*c-1031289706001844147*f,
      19610280502990843*b-40544108165505524*f,
      58830841508972529*a-29886571227928900*f)}

Si dejamos que $f=1,$ despejar los denominadores, y factorizar los coeficientes, la única parábola solución es $(2\cdot 5^2\cdot 17287733\cdot x+3\cdot 1013\cdot 578789\cdot y)^2+2^2\cdot 3^2\cdot 5^3\cdot 79\cdot 10396442322731\cdot x-2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 113\cdot 54119996695321\cdot y+3\cdot 5^2\cdot 97\cdot 971\cdot 98731\cdot 2108819=0.$

Ahora bien, el problema es interesante en la teoría de las intersecciones, porque el veronés de las líneas dobles ( ideal(4*c*f-e^2,2*b*f-d*e,b*e-2*c*d,4*a*f-d^2,2*a*e-b*d,4*a*c-b^2) arriba) aparece. Por ello, la respuesta de Bezout a cuántas cónicas son tangentes a cinco rectas (hay cinco condiciones de grado dos; así que $2^5$ ) está mal, porque hay exceso de intersección y el equivalente de las líneas dobles asciende a $31$ (Fulton Intersección Teoría Ejemplo 9.1.8).

Answer 2

No es realmente una respuesta, pero me gustaría mostrar una construcción geométrica muy sencilla para encontrar la parábola tangente a cuatro rectas dadas, proporcionando así también una prueba de su unicidad.

La construcción se basa en una hermosa propiedad de las parábolas:

El foco de una parábola se encuentra en la circunferencia del triángulo formado por tres tangentes cualesquiera a la parábola (véase el apéndice para una prueba geométrica).

Dejemos entonces que $a$ , $b$ , $c$ , $c$ ser cuatro líneas dadas (no dos de ellas paralelas). El foco $F$ de la parábola tangente a ellas debe estar (por la propiedad anterior) en la circunferencia del triángulo formado por las líneas $abc$ y al mismo tiempo debe estar en la circunferencia del triángulo formado por las líneas $abd$ . Estos dos círculos tienen en común el punto de intersección de las líneas $ab$ que no puede ser el centro de atención. Por lo tanto, el foco de la parábola se determina unívocamente como la otra intersección de las circunferencias.

Para completar la construcción, podemos utilizar otra propiedad bien conocida:

La proyección perpendicular del foco de una parábola sobre cualquier tangente, se encuentra en la línea que pasa por el vértice y es perpendicular al eje de la parábola.

Si $A$ y $B$ son las proyecciones del foco en las líneas $a$ y $b$ la línea que pasa por el foco perpendicular a la línea $AB$ es entonces el eje, y la intersección de las líneas es el vértice de la parábola.

APÉNDICE.

Prueba de la propiedad dada al principio.

Sean dadas tres tangentes a una parábola, con puntos de tangencia $A$ , $B$ , $C$ y que se cruzan en $P$ , $Q$ , $R$ (véase la figura siguiente). Sea $F$ sea el foco de la parábola, y $D$ , $E$ las intersecciones del eje de la parábola con las líneas $PQ$ y $QR$ .

Es bien sabido que $FA=FD$ lo que implica $\angle FAQ=\angle EDQ$ . Además, sabemos que ( ver aquí para una prueba):

el ángulo exterior entre dos tangentes cualesquiera es igual al ángulo que cualquiera de los segmentos de la tangente subtiende en el foco,

que en nuestro caso implica $\angle AFQ=\angle DQE$ .

Se deduce que en los triángulos $AFQ$ , $DEQ$ también tenemos $\angle FQA=\angle DEQ$ .

Pero con un razonamiento análogo podemos demostrar que $\angle FRB=\angle FER=\angle DEQ$ . De ello se desprende que $\angle FRP=\angle FQP$ y señala $FPQR$ son cíclicos como se iba a demostrar.