Notación del constructor de conjuntos para una lista de tiempos en los que cualquiera de dos funciones tiene un determinado valor

Question

Tengo dos funciones del tiempo: $f(t)$ y $g(t)$ .

Estas funciones oscilan en el tiempo a diferentes ritmos.

Espero construir un conjunto, $S$ que contiene todos los momentos en los que $f(t) = X$ así como los momentos en los que $g(t) = X$ . A continuación se muestra mi intento de construir este conjunto.

$S=\{t | \forall i \in \{f, g\}: i(t)=X\}$ .

¿Es esto correcto? ¿Hay una forma más fácil de construir este conjunto?

Answer 1

Es poco convencional cuantificar sobre un conjunto de funciones de esa manera. Dejar que las variables tomen valores funcionales de esa manera me huele un poco a programación. Pero no veo nada inherentemente malo en ello.

Sin embargo, usted quiere $\exists$ en lugar de $\forall$ . Usted no quiere que el $t$ tal que $f(t)=X$ y también $g(t)=X$ . Usted quiere la variante "o" (o "ambos"), tal y como yo leo su pregunta: el $t$ de tal manera que al menos uno de los $f$ y $g$ evalúa a $X$ .

Si tuviera una lista indexada de funciones $\{f_1,f_2,\ldots\}$ (ya sea infinito, o finito, posiblemente con sólo dos funciones), entonces $$ \{t\mid \exists i(f_i(t)=X)\} $$ sería totalmente estándar. Cuantificar sobre los índices de esta manera es mucho más común que cuantificar sobre las funciones reales. No sé exactamente por qué.

En su caso, lo más convencional sería probablemente algo como $$ \{t\mid f(t)=X\text{ or }g(t)=X\} $$

Answer 2

Esto describe el conjunto de todos los tiempos $t$ para lo cual $f(t) = g(t) = X$ pero leyendo tu descripción creo que quieres el conjunto de todos los tiempos $t$ para los que $f(t) =X$ o $g(t) = X$ . En su notación, esto es $$ S = \{t : \exists i \in \{f,g\}. i(t) = X\}. $$ También creo que es un ansatz bastante inusual para escribir este conjunto, yo escribiría algo como $$ S = \{t: f(t) = X \vee g(t) = X \} $$ o incluso, utilizando la operación de preimagen $$ S = f^{-1}[\{X\}] \cup g^{-1}[\{X\}]. $$