Quiero encontrar todo $n \times n$ matrices $L$ que satisfacen la siguiente ecuación \begin{align*} L^* \rho L+ L \rho L^* = L^* L \rho + \rho L^* L \end{align*} para todos los autoadjuntos $n \times n$ matrices $\rho$ . Aquí $L^*$ denota el adjunto de $L$ .
Respuesta
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Asumo que las matrices son reales, $L^*=L^T$ y que $\rho$ se denota por $R$ s.t. $R=R^T$ .
$\textbf{Proposition}$ . Las soluciones en $L$ son sólo todas las matrices escalares.
$\textbf{Proof}$ . Paso 1. Sea $(E_{i,j})_{i,j}$ sea la base canónica de $M_n(\mathbb{R})$ . Aquí, para cada $i$ ,
$L^TE_{i,i}L+LE_{i,i}L^T-L^TLE_{i,i}-E_{i,i}L^TL=0$ . Viendo los elementos diagonales, obtenemos que (excepto la entrada $(i,i)$ ), la fila $i$ y la columna $i$ de $L$ son $0$ ; por último $L=diag((l_i)_i)$ es diagonal.
Paso 2. Ahora la función $f:R\in S_n\mapsto 2LRL-L^2R-RL^2$ es $0$ Es decir,
$f=2L\otimes L-L^2\otimes I-I\otimes L^2=0$ en $S_n\subset \mathbb{R}^{n^2}$ donde apilamos las matrices en vectores, fila por fila.
Véase. https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_product
Desde $f=-(L\otimes I-I\otimes L)^2$ deducimos que
$spectrum(f)=(-(l_i-l_j)^2)_{i,j}$ y $f$ es diagonalizable.
No es difícil ver que $f=0$ en $\mathbb{R}^{n^2}$ y, en consecuencia, el $(l_i)_i$ son iguales y $L$ es una matriz escalar.
EDITAR. Para el paso 2, si no te gustan los productos tensoriales, puedes proceder como sigue
Cuando $i\not= j$ , $f(E_{i,j})=-(l_i-l_j)^2E_{i,j},f(E_{j,i})=-(l_i-l_j)^2E_{j,i}$ . Desde $f(E_{i,j}+E_{j,i})=0$ deducimos que $l_i=l_j$ .
