Intenté demostrar que para los espacios topológicos $X_{\alpha}, \alpha \in A$ para el espacio del producto $\prod_{\alpha} X_{\alpha}$ con la topología de producto habitual si $A_{\alpha} \subseteq X_{\alpha}$ para todos $\alpha \in A$ entonces $$ \overline{ \prod_{\alpha} A_{\alpha} } = \prod_{\alpha} \overline{ A_{\alpha} } $$ donde $\overline A_{\alpha}$ denota el cierre de $A_{\alpha}$ . Mi prueba se basa en el axioma de elección, lo adjuntaré. Pero mientras tanto me surgió otra cuestión. Demostrando que $\prod_{\alpha} \overline{A_{\alpha}}$ es cerrado estableciendo que su complemento es abierto. Pero eso significa que es una unión de conjuntos $\prod_{\alpha} U_{\alpha}$ con $U_{\alpha} \ne X_{\alpha}$ para sólo un número finito de subconjuntos abiertos $U_{\alpha}$ de $X_{\alpha}$ , más formalmente $$ \left[ \prod_{\alpha} \overline A_{\alpha} \right]^C = \bigcup_{i \in I} B_i $$ donde cada $B_i = \prod_{\alpha} U^{(i)}_{\alpha}$ con $U_{\alpha}^{(i)} \ne X_{\alpha}$ para sólo un número finito de $\alpha$ . Una primera idea podría ser $$ \left[ \prod_{\alpha} \overline A_{\alpha} \right]^C = \bigcup_{J \subseteq A, J \mbox{ finite}} B_J $$ donde $B_J = \prod_{\alpha} U_{\alpha}$ con $U_{\alpha} = \overline{A_{\alpha}}^C$ si $\alpha \in J$ y $U_{\alpha} = X_{\alpha}$ de lo contrario. Pero creo que esto no funciona por si $$ x \in \prod_{\alpha} \overline{A_{\alpha}}^C $$ (es decir $x \notin \overline A_{\alpha}$ para todos $\alpha \in A$ podría expresarse como $x \in B_J$ con $J = A$ ) entonces $x \notin \prod_{\alpha} \overline{A_{\alpha}}$ pero no está en ningún $B_J$ para $J$ un subconjunto finito de $A$ . Así que mi pregunta, ¿hay alguna forma de escribir $$ \prod_{\alpha} \overline A_{\alpha} $$ como una unión de conjuntos abiertos en la topología del producto? (seguramente debe ser el caso, pero ¿hay una manera de dar explícitamente una fórmula para ello)
Para completar, mi prueba de $$ \overline{ \prod_{\alpha} A_{\alpha} } = \prod_{\alpha} \overline{ A_{\alpha} }. $$ Dejemos que $x \in \prod_{\alpha} \overline A_{\alpha}$ y que $U$ sea un conjunto de bases abiertas en torno a $x$ es decir $$ U = \prod_{\alpha} U_{\alpha} $$ con un número finito de subconjuntos abiertos $U_{\alpha} \ne X_{\alpha}$ y el resto $U_{\alpha} = X_{\alpha}$ y $x \in U$ . Entonces, porque $x_{\alpha} \in U_{\alpha}$ para todos $\alpha \in A$ y $x_{\alpha} \in \overline{A_{\alpha}}$ es $U_{\alpha} \cap A_{\alpha} \ne \emptyset$ para todos $\alpha \in A$ . Por tanto, por el axioma de elección el conjunto $$ \prod_{\alpha} (U_{\alpha} \cap A_{\alpha}) $$ es no vacía y por lo tanto $$ U \cap \prod_{\alpha} A_{\alpha} = \prod_{\alpha} U_{\alpha} \cap \prod_{\alpha} A_{\alpha} = \prod_{\alpha} (U_{\alpha} \cap A_{\alpha}) $$ también es no vacía, y por lo tanto $\overline{ \prod_{\alpha} A_{\alpha} } = \prod_{\alpha} \overline{ A_{\alpha} }$ .
