Operaciones de cohomología integral (estable)

Question

Ha habido un par de preguntas en MO, y en otros lugares, que me han hecho sentir curiosidad por las operaciones de cohomología integral o racional. Me siento bastante familiarizado con el álgebra de Steenrod clásica y sus usos y construcciones, y no sé cómo imaginar alguna construcción a nivel de cadena de una operación de este tipo, que no sea acoplando operaciones mod p con bockstein y mapas de reducción. Tengo curiosidad por conocer las ideas en esta dirección, los trabajos anteriores y las posibles aplicaciones. Así que mis preguntas son esencialmente las siguientes:

1) ¿Existen operaciones de cohomología racional "interesantes"? Me parece que debería ser capaz de calcular $H\mathbb{Q}^*H\mathbb{Q}$ al notar que $H\mathbb{Q}$ es sólo una esfera racional y por tanto no hay grupos no nulos en el límite. ¿Es esto correcto?

2) Anteriormente alguien publicó una solicitud de referencia sobre $H\mathbb{Z}^*H\mathbb{Z}$ y tengo curiosidad por saber qué se sabe y qué métodos se utilizaron.

3) ¿Existe un enfoque razonable, es decir, explicable en este foro, para construir operaciones a nivel de cadena? los enfoques que he visto parecen requerir algunas suposiciones de características finitas, pero tal vez estoy recordando mal las cosas.

4) Actualmente tengo la impresión de que una parte realmente difícil del problema es integrar toda la información de diferentes primos, ¿es éste el principal obstáculo?

Mis disculpas por el aluvión de preguntas, si la gente cree que sería mejor dividirlo, estaré encantado de hacerlo.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

$HZ^nHZ$ es trivial para $n<0$ . $HZ^0HZ$ es infinitamente cíclico generado por la operación de identidad. Para $n>0$ el grupo es finito. Así que lo sabes todo si sabes lo que pasa localmente en cada primo. Para $n>0$ el $p$ -la parte primaria no sólo es finita sino que se mata por $p$ lo que significa que se puede extraer del álgebra de Steenrod $H(Z/p)^{*}H(Z/p)$ y Bocksteins.

EDITAR Aquí está la parte más fácil: Los grupos de homología integral del espacio $K(Z,n)$ desaparecen por debajo de la dimensión $n$ y por inducción en $n$ todos son generados finitamente. También $H_{n+k}K(Z,n)$ es independiente de $n$ para aproximadamente $n>k$ para que en este rango estable $H_{n+k}K(Z,n)$ es $HZ_kHZ$ que, por tanto, está generada finitamente. Esto más el cálculo de la (co)homología racional da que $HZ_kHZ$ es finito para $k>0$ . Esta es la parte divertida: Por supuesto que uno espera que haya algunos elementos de orden $p^m$ para $m>1$ en la (co)homología de $K(Z,n)$ y, de hecho, los hay; la sorpresa es que, de forma estable, no es así.

Answer 2

Una posible analogía interesante de la fórmula $H\mathbb{F}_{2*} H\mathbb{F}_2 = \otimes_{i\ge1} \mathbb{F}_2[\xi_i]$ es $H\mathbb{Z}_{(2)*} H\mathbb{Z}_{(2)} = \bigotimes^\mathbb{L}_{i\ge1} \mathbb{Z}_{(2)*}[\xi_i^2]/(2\xi_i^2)$ , donde $\otimes^{\mathbb{L}}$ significa el producto tensorial derivado. En otras palabras, resolver $\mathbb{Z}_{(2)*}[\xi_i^2]/(2\xi_i^2)$ por (plano o) libre $\mathbb{Z}_{(2)}$ -módulos, tensor de las resoluciones juntos, y pasar a la homología. Si no recuerdo mal, la "primera" clase interesante $\xi_2^3 + \xi_1^2 \xi_3$ (en grado 9) surge como un producto de torsión de $\xi_1^2$ y $\xi_2^2$ . Una vez necesité esto para un cálculo de homología de Shukla. Es de suponer que también hay una historia de impar.

Answer 3

Aquí hay otra referencia interesante sobre $H\mathbb{Z}_* H\mathbb{Z}$ y $H\mathbb{Z}^* H\mathbb{Z}$ :

Kochman, Stanley; Operaciones de cohomología integral. Current trends in algebraic topology, Part 1 (London, Ont., 1981), pp. 437-478, CMS Conf. Proc., 2, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1982.

Contiene en particular el teorema explicado anteriormente por Tom, que el $p$ -la parte principal es asesinada por $p$ .

Answer 4

1. Así es.

2. El cálculo un poco más fácil, creo, es $H\mathbb{Z}_\ast H\mathbb{Z}$ y esto es más fácil de abordar un primo a la vez, es decir, mediante el cálculo de $H\mathbb{Z}_\ast H\mathbb{Z}_{(p)}$ que es algo que se puede hacer usando la clásica secuencia espectral de Adams. No lo tengo a mano para comprobarlo, pero sospecho que este cálculo se realiza en la Parte III del "libro azul" de Adams ( Homotopía estable y homología generalizada ). Lo principal que hay que tener en cuenta es que $H\mathbb{Z}_nH\mathbb{Z}_{(p)}$ es $p$ -(es decir, en el núcleo de la multiplicación por $p$ ) para todos los $n>0$ .

3. La definición original de Steenrod era mediante una construcción a nivel de cadena, llamada producto de copa-i. Esto se discute en algunas otras preguntas, como aquí .

Nótese que estoy discutiendo la homología (estable) del espectro de Eilenberg MacLane. La homología de los espacios integrales de Eilenberg MacLane $H_\ast K(\mathbb{Z},n)$ son bastante más complicados.