Espacios de lentes y gráficos de Petersen generalizados

Question

Hace poco me encontré con este pregunta de mathoverflow, en la que el número de clases de homeomorfismo de espacios de lentes tridimensionales $L(p, q)$ se calcula en función de $p$ . Usando la OEIS, encontré una conexión con la llamada gráficos de Petersen generalizados : Para $m\geq 3$ y $1\leq k <m$ relativamente primo a $m$ denotamos por $P(m, k)$ el gráfico en los vértices $v_1,\dots, v_m, w_1, \dots, w_m$ y con bordes $\{v_i, w_i\}, \{v_i, v_{i+1}\}$ y $\{w_i, w_{i+k}\}$ para $1\leq i \leq m$ donde los índices se toman en módulo $m$ .

Como ha demostrado Steimle y Staton los gráficos $P(m, k)$ y $P(m, l)$ son isomorfos si y sólo si $k\equiv\pm l \text{ mod } m$ o $kl\equiv\pm 1 \text{ mod } m$ . El resultado clásico sobre las clases de homeomorfismo de los espacios de lentes tridimensionales establece que esta condición sobre $l$ y $k$ se cumple si y sólo si los espacios de las lentes $L(m, k)$ y $L(m, l)$ son homeomórficos. De ahí que lleguemos a la sugerente conclusión $$P(m, k) \cong P(m, l) \Leftrightarrow L(m, k) \cong L(m, l).$$

Por un lado, encuentro que la prueba para la clasificación de los grafos de Petersen generalizados dada en el artículo carece de un enfoque conceptual. Por otro lado, la definición de un grafo de Petersen generalizado capta realmente mi intuición sobre cómo se "construyen" los espacios de lentes. Esto motiva mi

Pregunta: ¿Existe una correspondencia estructural "directa" entre los espacios de lentes y los grafos de Petersen generalizados que permita obtener uno de los resultados de la clasificación a partir del otro?

Answer 1

Como sugirió Qiaochu Yuan, hay una estructura de CW en $S^3$ con $P(m,k)$ como su esqueleto 1, invariante bajo la ${\mathbb Z}_m$ acción que define el espacio de la lente $L(m,k)$ . La estructura CW cotizada en $L(m,k)$ subdivide el estándar que tiene una sola celda en cada dimensión 0, 1, 2, 3. Para construir esta subdivisión, se parte de la imagen habitual de $L(m,k)$ como una bola en forma de lente con sus caras superior e inferior identificadas a través de un $k/m$ "rotación". Poner $m$ vértices $v_1,\cdots,v_m$ igualmente espaciados alrededor del borde de la lente, numerados consecutivamente (mod $m$ ). Al descontar el ${\mathbb Z}_m$ identifica todos los vértices $v_i$ y todos los bordes $[v_i,v_{i+1}]$ y también identifica las caras superior e inferior de la lente a una sola célula de 2, por lo que se obtiene la estructura estándar de CW en $L(m,k)$ . Para subdividirlo, pon un nuevo vértice $w_0$ en el centro de la cara inferior de la lente y un nuevo vértice $w_k$ en el centro de la cara superior. Une estos dos vértices mediante una arista $[w_0,w_k]$ que atraviesan el objetivo, y luego se unen $w_0$ a $v_0$ y $w_k$ a $v_k$ por arcos geodésicos en las caras inferior y superior de la lente. El bucle $v_0,v_1,\cdots,v_k,w_k,w_0,v_0$ entonces abarca una celda 2 en el interior de la lente, cuyo complemento en la lente es una celda 3. Esto da una estructura CW en $L(m,k)$ con dos celdas 0, tres celdas 1, dos celdas 2 y una celda 3. Elevación a la tapa $S^3$ da una estructura CW con $m$ veces más celdas en cada dimensión. La preimagen del borde $[w_0,w_k]$ es un círculo con vértices $w_0,w_k,w_{2k},w_{3k}\cdots$ en ese orden, por lo que estos dan bordes $[w_i,w_{i+k}]$ para cada $i$ . También hay bordes $[v_i,w_i]$ para cada $i$ por lo que el esqueleto 1 es el gráfico $P(m,k)$ .