Lax-Milgram como corolario del teorema de Stampacchia [libro de Brezis]

Question

Estoy leyendo el libro de Brezis functional analysis,sobolev spaces and pdes, donde en la página 140 de la edición de Springer de 2010 aparece lo siguiente corolario 5.8 que es un corolario del teorema de Stampacchia (teorema 5.6.) :

Supongamos que $a(u,u)$ es una forma bilineal coercitiva en $H$ (donde $H$ es un espacio de Hilbert sobre $\mathbb{R}$ ); entonces para cada $\phi \in H^*$ existe un elemento $u$ tal que $a(u,v)=\langle \phi,v \rangle,$ por cada $v \in H.$ Además, si $a$ es simétrica, $u$ se caracteriza por la propiedad $\mathcal{P}:$ $$u\in H \ \ \text{and} \ \ \frac{1}{2}a(u,u)-\langle \phi,u \rangle = \text{min}_{v \in H}\big\{\frac{1}{2} a(v,v)-\langle \phi,v \rangle \big\}$$

Desgraciadamente, Brezis da una prueba muy incompleta del corolario, diciendo que uno debe simplemente aplicar el razonamiento de un corolario (5.4) que dicen que

si $M$ es un subespacio lineal cerrado de $H.$ Para $x\in H,$ $y=P_Kx$ es se caracteriza por la propiedad de que para todo $m \in M$ $$ y\in M \ \text{and} \ \langle x-y, m \rangle =0$$

pregunta

¿Puede proporcionarme una prueba más detallada de este hecho? O bien una prueba dada como respuesta o una referencia a una prueba detallada en algún otro libro es buena.

Leer

La única petición es que me gustaría seguir el enfoque de Brezis de derivarlo del teorema de Stampacchia.

Answer 1

En primer lugar, consideremos el operador lineal $A:H\to H^{*}$ definido por $Au(v)=a(u,v)$ . Entonces por la coercitividad existe $C>0$ tal que $||A^{*}v||\geq C||v||$ . El teorema 2.22 de Brezis en la página 47 implica $A$ es un operador suryectivo. Para todo $\phi \in V^{*}$ , existe $u \in H$ con $Au=\phi$ . Obsérvese que la coercitividad dice $A$ en inyectiva por lo que $A$ es biyectiva.

Para la segunda reclamación definir la "energía" $$E(u)=\frac{1}{2}a(u,u)-\langle \phi,u\rangle.$$ Atado por debajo se obtiene $E(u)\geq \frac{C}{2}||u||²-||\phi||\cdot ||u|| \geq \frac{1}{2C}(C||u||-||\phi||)²-\frac{1}{2c}||\phi||²$ , entonces el infimun existe. Tomemos una secuencia $E(u_n) \to \inf_{v \in H} E(v)$ y demostrar $u_n$ es una secuencia de Cauchy en $H$ (utilizar la coercitividad). $H$ es un espacio hilbert por lo que la secuencia minimizadora es un mínimo.

Answer 2

Para ver la segunda afirmación, defina $$ E(u) = \frac12 a(u,u) - (\phi,u). $$ Entonces para $u,v$ tiene $$ E(u+v) - E(u) = a(u,v)-(\phi,v) + a(v,v). $$ Esto demuestra inmediatamente que si $a(u,v)-(\phi,v)=0$ para todos $v$ entonces $u$ minimiza la energía. Supongamos ahora que $u$ minimiza la energía, entonces tenemos para todos $t>0$ y $v$ $$ 0\le E(u+tv) - E(u) = t(a(u,v)-(\phi,v)) + t^2a(v,v). $$ Dividiendo por $t$ y pasando al límite $t\searrow0$ obtenemos $$ a(u,v)-(\phi,v) \ge0 \quad \forall v. $$ Esto también es cierto para $-v$ Así que $a(u,v)-(\phi,v) =0$ para todos $v$ .