Una secuencia en $C([-1,1])$ y $C^1([-1,1])$ con convergencia débil en estrella respecto a un espacio, pero no al otro

Question

Los funcionales $$ \phi_n(x) = \int_{\frac{1}{n} \le |t| \le 1} \frac{x(t)}{t} \mathrm{d} t $$ definen una secuencia de funciones en $C([-1,1])$ y $C^1([-1,1])$ .

a) Demuestre que $(\phi_n)$ converge *débilmente en $C^1([-1,1])'$ .

b) ¿Realmente $(\phi_n)$ converge *débilmente en $C([-1,1])'$ ?

Para mí el límite funcional $$ \int_{0 \le |t| \le 1} \frac{x(t)}{t} \mathrm{d} t $$ no está bien definido por lo que tengo problemas para evaluar la condición de convergencia? ¿Tiene alguna pista?

Answer 1

Podemos escribir $$\phi_n(x)=\int_{1/n}^1\frac{x(t)-x(-t)}tdt.$$ Cuando $x$ está en $C^1[-1,1]$ , esto converge a $\int_0^1\frac{x(t)-x(-t)}tdt$ (y esta integral es convergente, ya que el problema en $0$ se resuelve mediante la derivada.

Tomando una función continua $f$ tal que $f=1$ en $[n^{-1},1]$ y $-1$ en $[-1,-n^{-1}]$ podemos ver que $\lVert \phi_n\rVert_{(C[-1,1])'}=2\log n$ por lo que no podemos tener débiles $^*$ convergencia en $(C[-1,1])'$ .

Answer 2

@Davide Giraduo

En cuanto a tu derivación, he llegado a otro resultado: \begin{align*} \int_{1/n \le |t| \le 1} \frac{x(t)}{t} \mathrm{d} t & = \int_{-1}^{-1/n} \frac{x(t)}{t} \mathrm{d} t + \int_{1/n}^1 \frac{x(t)}{t} \mathrm{d} t \\ & = - \int_{1}^{1/n} \frac{x(-t)}{t} \mathrm{d} t + \int_{1/n}^1 \frac{x(t)}{t} \mathrm{d} t \\ & = \int_{1/n}^{1} \frac{x(-t)}{t} \mathrm{d} t + \int_{1/n}^1 \frac{x(t)}{t} \mathrm{d} t \\ & = \int_{1/n}^{1} \frac{x(-t) + x(t)}{t} \, \mathrm{d} t \end{align*} ¿Qué tiene otros signos?