Me preguntaba si usando la ecuación de De Broglie
$ \lambda = \frac{h}{p}$
para un objeto que se desplaza a una velocidad realmente alta daría lugar a un error importante. Por ejemplo, si un objeto viajara a $0.02c$ ¿el error sería insignificante? ¿Cómo puedo calcular la incertidumbre del resultado?
La fórmula sigue siendo correcta para velocidades cercanas a $c$ siempre que se utilice la definición relativista de momento para $\mathbf{p}$ .
Utilizando unidades naturales ( $\hbar=c=1$ ), la función de onda de una partícula de momento $\mathbf{p}$ viene dada por
$$ \psi(\mathbf{x},t) = \psi_0 \exp(-iEt + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}).$$
La fórmula es la misma, tanto en la mecánica no relativista como en la relativista. La única diferencia es la definición de energía, que en la relatividad es
$$ E = \sqrt{m^2+\mathbf{p}^2}.$$
También cambia la dependencia del momento de la velocidad. Dado que te interesa una partícula que viaja más lento que $c$ debe ser masivo, y el momento es
$$ \mathbf{p} = m\gamma \mathbf{v}.$$
La relación entre las longitudes de onda relativistas y no relativistas es simplemente
$$ \frac{\lambda_{rel}}{\lambda_{nr}} = \frac{p_{nr}}{p_{rel}} = \frac{1}{\gamma} = \sqrt{1-v^2} \approx 1 -\frac{v^2}{2}$$
Así, para $v=0.02$ la longitud de onda relativista sería de alrededor de $0.04\%$ más pequeño que el no relativista.
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