Demostrar que si $F : A \rightarrow B$ y $F^{-1}$ es una función, entonces $F$ es Inyectiva

Question

Declaración: si $F : A \rightarrow B$ y $F^{-1}$ es una función, entonces $F$ est $1-1$ Prueba: Si $F$ no es $1-1$ entonces existe $x_{1}, x_{2} \in A$ donde $x_{1} \neq x_{2}$ y $F(x_{1}) = F(x_{2})$ . Por lo tanto, $F^{-1}(y) \neq F^{-1}(y)$ Así que $F^{-1}$ no es una función. Por contraposición, si $F : A \rightarrow B$ y $F^{-1}$ es una función, entonces $F$ est $1-1$ . $\square$

¿Es válida mi prueba?

Answer 1

Tu prueba tiene la idea correcta (es "válida"), pero la redacción podría ser mejor, y si yo calificara esto, no te daría la puntuación completa por "Por lo tanto", $F^{-1}(y) \neq F^{-1}(y)$ ". Así es como yo lo haría:

Supongamos que $F$ no es inyectiva. Entonces existe $x_1, x_2 \in A$ , de tal manera que $x_1 \neq x_2$ y $F(x_1) = F(x_2) = y \in B$ . Así, tendríamos $F^{-1}(y) = x_1, F^{-1}(y) = x_2$ . Como una función no puede asignar un elemento de su dominio a más de un elemento de su rango, esto significa que $F^{-1}$ no sería una función. Pero $F^{-1}$ es una función, por lo que nuestra suposición de que $F$ no es inyectiva debe ser falsa. Por lo tanto, $F$ es inyectiva.