Encontrar los parámetros $a,b\in\mathbb R$ para la matriz singular: $$A=\begin{bmatrix}1&a&1&0\\1&-1&0&1\\0&0&1&0\\1&b&0&1\end{bmatrix}$$ si la multiplicidad algebraica $l_i$ de sus valores propios es $2$ .
Mi intento: Desde $A\in M_4(\mathbb R)$ es singular, $\det A=0$ y por lo tanto $k_A(0)=0$ Si observamos $1^{\text{st}}\;\&\;2^{\text{nd}}$ columna, $a=-1,b=-1\implies\;\det A=0$ . Sin embargo, al observar $2^{\text{nd}}\;\&\;4^{\text{th}}$ fila, $b=-1\implies\det A=0$ .
He comprobado si $a=-1,b=-1$ realmente es la solución.
$A{\sim}J$ donde $J\in M_4(\mathbb R)$ es una matriz de Jordan: $$\begin{bmatrix}1&-1&1&0\\1&-1&0&1\\0&0&1&0\\1&-1&0&1\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&1\\0&0&1&0\\1&1&0&1\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&1&1&0\\0&0&1&0\\1&1&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&0&1&0\\1&1&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}\sim J=\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}$$
$$A\sim J\implies k_A(\lambda)=k_J(\lambda)$$
Saber, $$\deg k_A(\lambda)=4,\;k_A(\lambda)=\sum_{i=0}^4\alpha_i\lambda^i,$$ $$\;\alpha_4=(-1)^4=1,\;\alpha_3=(-1)^3\operatorname{trace}(A)=-2,\alpha_0=0$$ $$\&$$ $$k_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^2(\lambda-0)^2=\lambda^4-2\lambda_0\lambda^3+\lambda^2\lambda_0^2$$ $$\implies\lambda_0=1$$ Valores propios $0,1$ coinciden con la matriz de Jordan, por lo que $(a,b)=(-1,-1)$
¿Es esto correcto?
