Si $x$ es un punto de Lebesgue de $f$ , $f \in L^p$ y $f(x)=0$ entonces es un punto de Lebesgue de $f^p$ donde $p>1$ (finito)?

Question

Si $x$ es un punto de Lebesgue de $f$ y $f \in L^p$ entonces es un punto de Lebesgue de $f^p$ donde $p>1$ (finito)?

Aquí utilizo lo siguiente definición con la bola sustituida por el cubo.

Y sé que si una función es integrable, entonces casi todos los puntos son puntos de Lebesgue.

¿Puedo derivar esto?

Parece que alrededor de $x$ Puedo atar $f^p$ por $f$ porque allí puede estar $f\leq 1$ .

(Aquí se puede hacer una simplificación que $x=0$ considerando una traducción).

Answer 1

No es necesario que sea un punto de Lebesgue de $f^p$ (o $\lvert f\rvert^p$ ). Consideremos, para simplificar, la situación en $\mathbb{R}$ con $x = 0$ . Para $k \in \mathbb{N}\setminus \{0\}$ , dejemos que

$$A_k = \left(\frac{1}{k!+1}, \frac{1}{k!} \right).$$

Entonces queremos encontrar una secuencia $(c_k)$ de números reales positivos tal que

$$\lim_{n\to\infty} n!\sum_{k=n}^\infty c_k\left(\frac{1}{k!} - \frac{1}{k!+1}\right) = 0,$$

pero

$$\limsup_{n\to\infty} n!\sum_{k=n}^\infty c_k^p\left(\frac{1}{k!}-\frac{1}{k!+1}\right) > 0.$$

Elección de $c_k = (k!)^{1/p}$ nos da

$$n!\sum_{k=n}^\infty c_k^p\left(\frac{1}{k!}-\frac{1}{k!+1}\right) = n!\sum_{k=n}^\infty k!\cdot\frac{1}{k!(k!+1)} \geqslant \frac{n!}{n!+1} \to 1$$

y para $n \geqslant 4$ tenemos

$$n!\sum_{k=n}^\infty \frac{c_k}{k!(k!+1)} < n!\sum_{k=n}^\infty \frac{(k!)^{1/p}}{(k!)^2} = n!\sum_{k=n}^\infty \frac{1}{(k!)^{1+1/p}} < \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{(k!)^{1/p}} < \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{2^{k/p}} = \frac{1}{2^{n/p}(1-2^{-1/p})}.$$

Así, $0$ es un punto de Lebesgue de

$$f = \sum_{k=1}^\infty c_k \cdot \chi_{A_k},$$

pero no un punto de Lebesgue de $f^p$ .